Укажите решение квадратного неравенства 3х – x² ≤ x (3x − 1).

Решение:

Преобразуем неравенство:

\[3x - x^2 \le x(3x-1)\]

Раскрываем скобки:

\[3x - x^2 \le 3x^2 - x\]

Переносим все в правую часть:

\[0 \le 4x^2 - 4x\]

Делим обе части на 4:

\[0 \le x^2 - x\]

Или

\[x^2 - x \ge 0\]

Выносим x за скобки:

\[x(x-1) \ge 0\]

Корни уравнения x(x-1) = 0:

\[x_1 = 0, \quad x_2 = 1\]

Теперь определим знаки выражения x(x-1) на интервалах, образованных этими корнями:

• x < 0: x(x-1) > 0 (например, при x = -1: (-1)(-2) = 2 > 0)
• 0 < x < 1: x(x-1) < 0 (например, при x = 0.5: (0.5)(-0.5) = -0.25 < 0)
• x > 1: x(x-1) > 0 (например, при x = 2: (2)(1) = 2 > 0)

Поскольку нам нужно найти, где x(x-1) ≥ 0, выбираем интервалы, где выражение больше или равно нулю, и учитываем корни:

\[x \le 0 \quad \text{или} \quad x \ge 1\]

Это соответствует числовой прямой, где закрашены области слева от 0 и справа от 1, включая сами точки 0 и 1.

Графически это выглядит так:

     + + + + + [0] - - - - - [1] + + + + +
-------------------------------------> x

Таким образом, решением неравенства является вариант 4.