Укажите наименьший корень уравнения (в градусах) 2 log5 cosx = log0,2 4, принадлежащий промежутку [-90°; 90°].

Решение:

Заданное уравнение:

\( 2 \log_5 \cos x = \log_{0.2} 4 \)

Сначала преобразуем основание логарифма \( 0.2 \) к виду \( \frac{1}{5} \):

\( \log_{0.2} 4 = \log_{\frac{1}{5}} 4 = \log_{5^{-1}} 4 \)

Используем свойство логарифма \( \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \log_a b \):

\( \log_{5^{-1}} 4 = -1 \cdot \log_5 4 = -\log_5 4 \)

Теперь уравнение выглядит так:

\( 2 \log_5 \cos x = -\log_5 4 \)

Перенесём всё в одну часть:

\( 2 \log_5 \cos x + \log_5 4 = 0 \)

Используем свойство логарифма \( n \log_a b = \log_a b^n \):

\( \log_5 (\cos x)^2 + \log_5 4 = 0 \)

Используем свойство логарифма \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):

\( \log_5 (4 \cos^2 x) = 0 \)

По определению логарифма, если \( \log_a b = 0 \), то \( b = a^0 \). В нашем случае \( a=5 \) и \( b = 4 \cos^2 x \).

\( 4 \cos^2 x = 5^0 \)

\( 4 \cos^2 x = 1 \)

\( \cos^2 x = \frac{1}{4} \)

Извлечём квадратный корень из обеих частей:

\( \cos x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}} \)

\( \cos x = \pm \frac{1}{2} \)

Рассмотрим два случая:

1. \( \cos x = \frac{1}{2} \)

На промежутке \( [-90^{\circ}; 90^{\circ}] \) (который соответствует четвертой и первой четверти, где косинус положителен), решением является \( x = 60^{\circ} \).

2. \( \cos x = -\frac{1}{2} \)

На промежутке \( [-90^{\circ}; 90^{\circ}] \) косинус принимает только неотрицательные значения (от 0 до 1). Поэтому случай \( \cos x = -\frac{1}{2} \) не имеет решений на данном промежутке.

Также нужно учесть, что аргумент логарифма должен быть положителен, то есть \( \cos x > 0 \). Это исключает возможность \( \cos x = -\frac{1}{2} \) и ограничивает \( \cos x = \frac{1}{2} \) решениями, где \( \cos x \) действительно положителен.

Единственный корень на промежутке \( [-90^{\circ}; 90^{\circ}] \) — это \( x = 60^{\circ} \).

Наименьший корень — это \( 60^{\circ} \).

Ответ: 60°.