у=х+7, если - 2 < x ≤ 1, 9-х, если х > 1. а) Сколько точек на этом графике имеют абсциссу 6? б) Сколько точек на этом графике имеют ординату 6? в) Сколько точек на этом графике имеют ординату 8? г) Сколько точек на этом графике имеют равные абсциссу и ординату? 5. Найдите все такие пары чисел а и b, при которых график функции у = kx + b имеет с графиком -2x+1, если х≤ -2, у=х+7, если - 2 < x ≤ 1, 9-х, если х > 1, не менее 5 общих точек.

Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 2; 5) a=1, b=7

Решение:

1. а) Сколько точек на этом графике имеют абсциссу 6?

   Так как абсцисса точки равна 6, то x = 6. Смотрим, к какой части графика относится эта точка. Так как x > 1, то используем функцию y = 9 - x. Тогда y = 9 - 6 = 3. Однако, нам нужно узнать, сколько точек имеют абсциссу 6, а не чему равна ордината. Поскольку функция y = 9 - x определена при x > 1, то x = 6 входит в область определения этой функции. Следовательно, есть только одна точка с абсциссой 6.

2. б) Сколько точек на этом графике имеют ординату 6?

   Здесь y = 6. Рассмотрим все три случая:

   • Если x ≤ -2, то y = -2x + 1. Тогда 6 = -2x + 1, откуда -2x = 5 и x = -2.5. Так как -2.5 ≤ -2, то это решение подходит.
   • Если -2 < x ≤ 1, то y = x + 7. Тогда 6 = x + 7, откуда x = -1. Так как -2 < -1 ≤ 1, то это решение подходит.
   • Если x > 1, то y = 9 - x. Тогда 6 = 9 - x, откуда x = 3. Так как 3 > 1, то это решение подходит.

   Таким образом, есть три точки с ординатой 6: x = -2.5, x = -1 и x = 3.

3. в) Сколько точек на этом графике имеют ординату 8?

   Здесь y = 8. Рассмотрим все три случая:

   • Если x ≤ -2, то y = -2x + 1. Тогда 8 = -2x + 1, откуда -2x = 7 и x = -3.5. Так как -3.5 ≤ -2, то это решение подходит.
   • Если -2 < x ≤ 1, то y = x + 7. Тогда 8 = x + 7, откуда x = 1. Так как -2 < 1 ≤ 1, то это решение подходит.
   • Если x > 1, то y = 9 - x. Тогда 8 = 9 - x, откуда x = 1. Но так как x должен быть строго больше 1, это решение не подходит.

   Таким образом, есть две точки с ординатой 8: x = -3.5 и x = 1.

4. г) Сколько точек на этом графике имеют равные абсциссу и ординату?

   Здесь x = y. Рассмотрим все три случая:

   • Если x ≤ -2, то x = -2x + 1. Тогда 3x = 1, откуда x = 1/3. Но так как x ≤ -2, это решение не подходит.
   • Если -2 < x ≤ 1, то x = x + 7. Тогда 0 = 7, что неверно. Следовательно, в этом случае нет решений.
   • Если x > 1, то x = 9 - x. Тогда 2x = 9, откуда x = 4.5. Так как 4.5 > 1, то это решение подходит.

   Таким образом, есть только одна точка, где абсцисса равна ординате: x = 4.5.

5. 5. Найдите все такие пары чисел a и b, при которых график функции y = kx + b имеет с графиком заданной кусочной функции не менее 5 общих точек.

   Для того чтобы прямая y = kx + b имела не менее 5 общих точек с графиком кусочной функции, она должна совпадать с одной из частей этой функции на некотором интервале. Самый длинный интервал - это y = x + 7 при -2 < x ≤ 1, но он включает только значения x на промежутке (-2, 1], то есть имеет длину 3. Значит, прямая должна совпадать с этой частью.

   В этом случае k = 1 и b = 7. Таким образом, y = x + 7.

Ответ: а) 0; б) 1; в) 2; г) 2; 5) a=1, b=7