Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°, боковая сторона равна 3. Найдите радиус описанной окружности.

Решение:

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC, где \( \angle A = 120^{\circ} \) и \( AB = AC = 3 \). Нам нужно найти радиус описанной окружности R.

1. Найдем основание BC треугольника. Для этого проведем высоту AH к основанию BC. В равнобедренном треугольнике высота является также биссектрисой и медианой. Значит, \( \angle BAH = \angle CAH = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ} \) и \( BH = HC \).
2. В прямоугольном треугольнике ABH: \( BH = AB \cdot \sin(\angle BAH) = 3 \cdot \sin(60^{\circ}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \).
3. Основание BC = \( 2 \cdot BH = 2 \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \).
4. Для нахождения радиуса описанной окружности используем теорему синусов: \( \frac{a}{\sin(\alpha)} = 2R \), где \( a \) — сторона треугольника, \( \alpha \) — противолежащий угол.
5. Возьмем сторону BC и противолежащий угол \( \angle A \): \( \frac{BC}{\sin(\angle A)} = 2R \).
6. Подставим значения: \( \frac{3\sqrt{3}}{\sin(120^{\circ})} = 2R \).
7. Так как \( \sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), получаем: \( \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \).
8. Упростим: \( 3\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 2R \) => \( 6 = 2R \).
9. Отсюда \( R = 3 \).

Ответ: Радиус описанной окружности равен 3.