Угол параллелограмма равен 45°, а стороны — 7√2 см и 17 см. Найдите площадь параллелограмма и его большую диагональ.

Решение:

Дано:

Параллелограмм ABCD.

\( \angle A = 45^{\circ} \)

\( a = AB = 17 \text{ см} \)

\( b = AD = 7\sqrt{2} \text{ см} \)

Найти:

Площадь S параллелограмма.

Большую диагональ d.

1. Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма можно найти по формуле:

\[ S = a \cdot b \cdot \sin(\alpha) \]

где \( a \) и \( b \) — длины сторон, а \( \alpha \) — угол между ними.

Подставим известные значения:

\[ S = 17 \text{ см} \cdot 7\sqrt{2} \text{ см} \cdot \sin(45^{\circ}) \]

Так как \( \sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \), получим:

\[ S = 17 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 17 \cdot 7 \cdot \frac{2}{2} = 17 \cdot 7 = 119 \text{ см}^2 \]

2. Большая диагональ

Большую диагональ можно найти, используя теорему косинусов для треугольника ABD. В параллелограмме противолежащие углы равны, поэтому \( \angle C = \angle A = 45^{\circ} \). Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит, \( \angle B = \angle D = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \). Большая диагональ соединяет вершины тупых углов, то есть это диагональ BD, если угол A острый. В нашем случае угол A = 45° острый, значит, диагональ AC будет большей.

Применим теорему косинусов к треугольнику ABC:

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle B) \]

Поскольку BC = AD = \( 7\sqrt{2} \) см и \( \angle B = 135^{\circ} \), а \( \cos(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \):

\[ AC^2 = 17^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 17 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \]

\[ AC^2 = 289 + (49 \cdot 2) + 2 \cdot 17 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ AC^2 = 289 + 98 + 17 \cdot 7 \cdot 2 \]

\[ AC^2 = 387 + 238 \]

\[ AC^2 = 625 \]

\[ AC = \sqrt{625} = 25 \text{ см} \]

Чтобы убедиться, что AC — большая диагональ, найдем длину диагонали BD, используя треугольник ABD:

\[ BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(\angle A) \]

\[ BD^2 = 17^2 + (7\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 17 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \cos(45^{\circ}) \]

\[ BD^2 = 289 + 98 - 2 \cdot 17 \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

\[ BD^2 = 387 - 17 \cdot 7 \cdot 2 \]

\[ BD^2 = 387 - 238 \]

\[ BD^2 = 149 \]

\[ BD = \sqrt{149} \text{ см} \]

Так как \( 25 > \sqrt{149} \), то AC — большая диагональ.

Ответ: Площадь параллелограмма равна 119 см², а большая диагональ равна 25 см.