Угол ΔFPE относятся как ∠F:∠P:∠E = 1:2:3. PC - биссектриса ∠FPE. CE=29. Найти PC.

Сумма углов треугольника равна 180°. Пусть углы равны $$x, 2x, 3x$$. $$x+2x+3x = 180° ightarrow 6x = 180° ightarrow x = 30°$$. Углы равны 30°, 60°, 90°. ∠FPE = 90°. PC - биссектриса, значит ∠FCP = ∠PCE = 45°. В ΔPCE: ∠PEC = 60°, ∠PCE = 45°, ∠EPC = 180° - 60° - 45° = 75°. По теореме синусов: $$\frac{PC}{\sin 60°} = \frac{CE}{\sin 75°}$$. $$PC = \frac{CE \cdot \sin 60°}{\sin 75°} = \frac{29 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} = \frac{29\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{58\sqrt{3}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}} = \frac{58\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{6-2} = \frac{58\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{4} = \frac{29\sqrt{3}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}{2} = \frac{29(3\sqrt{2}-\sqrt{6})}{2}$$.