Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 67° и 83°. Найдите ВС, если радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 16.

Решение:

В треугольнике \( \inABC \) даны углы:

\( \inB = 67^\in \)

\( \inC = 83^\in \)

Найдем третий угол \( \inA \) по теореме о сумме углов треугольника:

\( \inA = 180^\in - \inB - \inC \)

\( \inA = 180^\in - 67^\in - 83^\in \)

\( \inA = 180^\in - 150^\in \)

\( \inA = 30^\in \)

Радиус описанной окружности \( R = 16 \).

По теореме синусов для треугольника \( \inABC \):

\( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)

Где \( a = BC \).

Нам нужно найти \( BC \), используя соотношение:

\( \frac{BC}{\sin A} = 2R \)

Подставим известные значения:

\( \frac{BC}{\sin 30^\in} = 2 \in 16 \)

Знаем, что \( \sin 30^\in = 0.5 \).

\( \frac{BC}{0.5} = 32 \)

\( BC = 32 \in 0.5 \)

\( BC = 16 \)

Ответ: 16