Углы треугольника АВС относятся как ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 4. Найдите длину отрезка МС.

Решение:

1. Шаг 1: Найдем углы треугольника. Пусть углы треугольника будут \( x, 2x, 3x \). Сумма углов треугольника равна \( 180^{\circ} \).
   \[ x + 2x + 3x = 180^{\circ} \]
   \[ 6x = 180^{\circ} \]
   \[ x = 30^{\circ} \]
   Следовательно, \( \angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ} \).
2. Шаг 2: Рассмотрим треугольник АВС. Так как \( \angle B = 60^{\circ} \) и ВМ - биссектриса, то \( \angle ABM = \angle CBM = 30^{\circ} \).
3. Шаг 3: Рассмотрим треугольник ABM. Из теоремы синусов:
   \[ \frac{AM}{\sin \angle ABM} = \frac{BM}{\sin \angle A} \]
   \[ \frac{AM}{\sin 30^{\circ}} = \frac{4}{\sin 30^{\circ}} \]
   \[ AM = 4 \]
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник BCM. Из теоремы синусов:
   \[ \frac{MC}{\sin \angle CBM} = \frac{BM}{\sin \angle C} \]
   \[ \frac{MC}{\sin 30^{\circ}} = \frac{4}{\sin 90^{\circ}} \]
   \[ MC = 4 \cdot \sin 30^{\circ} = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 \]

Ответ: Длина отрезка MC равна 2.