Углы треугольника ABC относятся как ∠A: ∠B: ∠C=1:2:3. Биссектриса BM угла ABC равна 4. Найдите длину отрезка MC.

Пусть углы треугольника ABC равны: ∠A = x, ∠B = 2x, ∠C = 3x.

Сумма углов треугольника равна 180°, следовательно:

$$x + 2x + 3x = 180°$$ $$6x = 180°$$ $$x = 30°$$

Значит, углы треугольника равны: ∠A = 30°, ∠B = 60°, ∠C = 90°.

Треугольник ABC – прямоугольный (∠C = 90°).

BM – биссектриса угла B, следовательно, ∠ABM = ∠CBM = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник BMC: ∠MBC = 30°, ∠C = 90°, следовательно, ∠BMC = 180° - 90° - 30° = 60°.

Рассмотрим треугольник ABM: ∠ABM = 30°, ∠A = 30°, следовательно, треугольник ABM равнобедренный (AM = BM).

Так как BM - биссектриса, то BM = 4, следовательно, AM = 4.

В прямоугольном треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, если бы мы провели медиану из вершины C к стороне AB, то она была бы равна половине AB.

Рассмотрим треугольник BMC. В этом треугольнике ∠MBC = 30°, а ∠C = 90°. Значит, MC является катетом, лежащим против угла в 30°. Следовательно, MC = 1/2 * BM. Но это неверно, т.к. BM является биссектрисой угла B, а не гипотенузой.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Т.к. ∠A = 30°, то BC = 1/2 * AB.

Пусть AM = MC = x. Тогда AC = 2x.

Так как BM - биссектриса, то по свойству биссектрисы треугольника, AM/MC = AB/BC.

AB/BC = 2. Т.к. AM = 4, то MC = AM = 4.

Ответ: MC = 4