Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = \(\frac{2-x}{2+x^2}\) в точке х = 2, равен ...

Решение:

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, нам нужно вычислить производную функции \( y = \frac{2-x}{2+x^2} \) и затем подставить значение \( x = 2 \).

1. Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \), где \( u = 2-x \) и \( v = 2+x^2 \).
2. Найдём производные числителя и знаменателя:
• \( u' = (2-x)' = -1 \)
• \( v' = (2+x^2)' = 2x \)
3. Подставим в формулу производной частного:
• \( y' = \frac{(-1)(2+x^2) - (2-x)(2x)}{(2+x^2)^2} \)
• \( y' = \frac{-2-x^2 - (4x - 2x^2)}{(2+x^2)^2} \)
• \( y' = \frac{-2-x^2 - 4x + 2x^2}{(2+x^2)^2} \)
• \( y' = \frac{x^2 - 4x - 2}{(2+x^2)^2} \)
4. Теперь подставим \( x = 2 \) в выражение для производной:
• \( y'(2) = \frac{2^2 - 4(2) - 2}{(2+2^2)^2} \)
• \( y'(2) = \frac{4 - 8 - 2}{(2+4)^2} \)
• \( y'(2) = \frac{-6}{6^2} \)
• \( y'(2) = \frac{-6}{36} \)
• \( y'(2) = -\frac{1}{6} \)

Ответ: угловой коэффициент касательной равен -1/6.