5. У Пети 4 монеты по 2 рубля и 2 монеты по 5 рублей. Он переложил 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе пятирублёвые монеты лежат в одном кармане.

Ответ: 3/5

Разбираемся:

Обозначим монеты по 2 рубля как Д1, Д2, Д3, Д4 и монеты по 5 рублей как П1, П2.

Петя переложил 3 монеты в другой карман, значит, в первом кармане осталась 1 монета.

Рассмотрим случаи, когда обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане:

1. Обе пятирублевые монеты остались в первом кармане: в этом случае в другой карман переложены три монеты по 2 рубля.
2. Обе пятирублевые монеты переложены во второй карман: в этом случае во втором кармане находятся П1, П2 и одна монета из Д1, Д2, Д3, Д4. В первом кармане осталась одна монета из Д1, Д2, Д3, Д4.

Теперь рассчитаем вероятность:

Всего есть 6 монет, из которых 3 перекладываются. Количество способов выбрать 3 монеты из 6 равно:

\[C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\]

Количество способов, когда обе пятирублевые монеты в одном кармане:

• Обе остались в первом кармане: Это значит, что были выбраны три монеты по 2 рубля из четырех. Число способов выбрать 3 монеты из 4 (все монеты по 2 рубля) равно C(4,3) = 4.
• Обе переложены во второй карман: Это значит, что вместе с двумя пятирублевыми монетами была выбрана одна монета из четырех по 2 рубля. Число способов выбрать 1 монету из 4 равно C(4,1) = 4.

Тогда общее количество благоприятных исходов равно 4 + 4 = 8.

Вероятность того, что обе пятирублевые монеты лежат в одном кармане:

\[P = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}\]

Другое решение:

Всего шесть монет: Д, Д, Д, Д, П, П (4 двухрублевые и 2 пятирублевые)

Петя переложил 3 монеты. Значит, одна монета осталась в первом кармане, а три – во втором.

Нам нужно найти вероятность, что обе пятирублевые монеты в одном кармане. Возможны 2 варианта:

• В первом кармане осталась одна из двух пятирублевых монет, тогда во втором – другая пятирублевая и две двухрублевые.
• В первом кармане осталась двухрублевая монета, тогда во втором обе пятирублевые и одна двухрублевая.

Считаем варианты:

• Всего вариантов, какая монета осталась в первом кармане – 6.
• Из них 2 благоприятных (одна из двух пятирублевых), когда в первом кармане – пятирублевая монета.
• И 4 благоприятных (одна из четырех двухрублевых), когда в первом кармане – двухрублевая монета.

Итого 6 вариантов. 2 благоприятных, когда в первом кармане – пятирублевая, и 4 благоприятных, когда в первом кармане – двухрублевая монета. Итого благоприятных вариантов 2 + 4 = 6.

Значит, вероятность, что обе пятирублевые монеты в одном кармане 6 / 6 = 1.

\[P = \frac{3}{5} = 0.6\]

Ответ: 3/5