У Маши есть попрыгунчик (каучуковый шарик). Она со всей силы бросила его об асфальт. После первого отскока попрыгунчик подлетел на высоту 288 см, а после каждого следующего отскока от асфальта подлетал на высоту в 2,4 раза меньше предыдущей. После какого по счёту отскока высота, на которую подлетит попрыгунчик, станет меньше 60 см?

Решение:

Высота после каждого отскока уменьшается в 2,4 раза. Это геометрическая прогрессия с первым членом \( a_1 = 288 \text{ см} \) и знаменателем \( q = \frac{1}{2,4} \).

Нам нужно найти номер отскока \( n \), после которого высота \( a_n \) станет меньше 60 см.

Формула высоты после \( n \)-го отскока: \( a_n = a_1 \cdot q^n \).

Подставим известные значения: \( 288 \text{ см} \cdot \left( \frac{1}{2,4} \right)^n < 60 \text{ см} \).

Разделим обе части на 288:

\( \left( \frac{1}{2,4} \right)^n < \frac{60}{288} \)

Упростим дробь \( \frac{60}{288} = \frac{10}{48} = \frac{5}{24} \).

\( \left( \frac{1}{2,4} \right)^n < \frac{5}{24} \)

Вычислим \( \frac{1}{2,4} \approx 0,4167 \) и \( \frac{5}{24} \approx 0,2083 \).

\( (0,4167)^n < 0,2083 \)

Проверим значения \( n \):

• При \( n=1 \): \( 0,4167^1 = 0,4167 \) (больше 0,2083)
• При \( n=2 \): \( 0,4167^2 \approx 0,1736 \) (меньше 0,2083)

Следовательно, после второго отскока высота станет меньше 60 см.

Ответ: После 2-го отскока.