5. У исполнителя Сигма две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 1; 2. раздели на b (b - неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Сигма увеличивает число на экране на 1, а выполняя вторую, делит это число на в. Программа для исполнителя Сигма это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12111 переводит число 50 в число 20. Определите значение в.

Запишем последовательность действий программы 12111: 1. Раздели на b: 50 / b 2. Прибавь 1: (50 / b) + 1 3. Раздели на b: ((50 / b) + 1) / b 4. Прибавь 1: (((50 / b) + 1) / b) + 1 5. Прибавь 1: ((((50 / b) + 1) / b) + 1) + 1 = 20 Упростим уравнение: ((50/b + 1)/b) + 2 = 20 ((50/b + 1)/b) = 18 (50/b + 1) = 18b 50/b = 18b - 1 50 = 18b^2 - b 18b^2 - b - 50 = 0 Решим квадратное уравнение: $$18b^2 - b - 50 = 0$$ D = $$b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 * 18 * (-50) = 1 + 3600 = 3601$$ b1 = $$(1 + \sqrt{3601}) / (2 * 18) = (1 + 60) / 36 = 61/36 ≈ 1.69$$ b2 = $$(1 - \sqrt{3601}) / (2 * 18) = (1 - 60) / 36 = -59/36 ≈ -1.64$$ Так как b должно быть целым числом и больше или равно 2, проверим ближайшие целые числа 2 и 3. Если b = 2: ((50 / 2 + 1) / 2) + 2 = (25 + 1) / 2 + 2 = 26 / 2 + 2 = 13 + 2 = 15 (не подходит) Если b = 3: ((50 / 3 + 1) / 3) + 2 = (16.66 + 1) / 3 + 2 = 17.66 / 3 + 2 = 5.88 + 2 = 7.88 (не подходит) Однако условие деления предполагает, что после деления получается целое число. Посмотрим, что произойдет, если b = 5: ((50 / 5 + 1) / 5) + 2 = (10 + 1) / 5 + 2 = 11 / 5 + 2 = 2.2 + 2 = 4.2 (не подходит) Пересмотрим условие и перефразируем: $$((50/b+1)/b)+1+1=20 $$ $$((50/b+1)/b)=18$$ $$(50/b+1)=18b$$ $$50/b=18b-1$$ $$50=18b^2-b$$ Поскольку результатом должно быть целое число (20), то деление должно происходить нацело, и все действия приводят к числу 20. Попробуем b = 5. 50/b = 10 10 + 1 = 11 11/b=11/5 - не подходит, нужно целое число. Попробуем b = 2 50 / 2 = 25 25 + 1 = 26 26/2=13 13 + 1 + 1 = 15 не равно 20. Попробуем решить подбором: Предположим, что первое деление дало не целое число, значит после деления не целое число + 1 и еще раз деление дает опять не целое, но потом + 1 + 1, но все равно в итоге 20. Допустим, после первого деления получили число (20-2)*b*b -b = 18 bb - b = 50 Если b = 2, то $$18*4-2 = 70$$, а не 50. Если b = 3, то $$18*9-3 = 159$$, а не 50. Нужно внимательно пересмотреть условие. Деление может быть только целочисленным. Попробуем найти решение другим путем. Пусть программа 12111 переводит 50 в 20. Тогда попробуем обратный ход: 20 - 1 - 1 = 18. 18 * b =? Делаем подбор, пока не станет очевидным при делении на b (50 / b + 1) не целое число. При этом первое деление 50 / b тоже должно быть целым числом. Очевидной ошибкой является, что b не может быть таким целым числом. Проверим, что означает, что при выполнении команд, деление нацело не всегда будет выполняться. (((50 / b) + 1) / b) + 1 + 1 = 20 (((50 / b) + 1) / b) = 18 ((50 / b) + 1) = 18b (50 / b) = 18b - 1 50 = 18b^2 - b 18b^2 - b - 50 = 0 D = 1 - 4 * 18 * - 50 = 3601 b1 = (1+60)/36 = 61/36 b2 = (1-60)/36 = -59/36. Так, как дискриминант не точный квадрат, то b не может быть целым. ОТВЕТ: Невозможно определить целое число b, исходя из условия задания.