У исполнителя Квадратор две команды, которым присвоены номера: 1. возведи в квадрат 2. прибавь b (b — неизвестное натуральное число). Первая из них возводит число на экране во вторую степень, вторая прибавляет к числу b. Программа для исполнителя — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 12212 переводит число 2 в число 37. Определите значение b.

Решение:

Обозначим команды:

• 1. возвести в квадрат (x → x²)
• 2. прибавить b (x → x + b)

Программа 12212 означает последовательность команд: 1, 2, 2, 1, 2.

Начальное число: 2.

1. Первая команда (1): 2 → 2² = 4
2. Вторая команда (2): 4 → 4 + b
3. Третья команда (2): (4 + b) → (4 + b) + b = 4 + 2b
4. Четвертая команда (1): (4 + 2b) → (4 + 2b)²
5. Пятая команда (2): (4 + 2b)² → (4 + 2b)² + b

Известно, что результат равен 37. Составим уравнение:

\[ (4 + 2b)^2 + b = 37 \]\[ 16 + 16b + 4b^2 + b = 37 \]\[ 4b^2 + 17b + 16 - 37 = 0 \]\[ 4b^2 + 17b - 21 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно b:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 · 4 · (-21) = 289 + 336 = 625 \)

\( √{D} = √{625} = 25 \)

Найдем корни:

\[ b_1 = \frac{-17 + 25}{2 · 4} = \frac{8}{8} = 1 \]\[ b_2 = \frac{-17 - 25}{2 · 4} = \frac{-42}{8} = -5.25 \]

Так как b — неизвестное натуральное число, то подходит только b = 1.

Проверка: Программа 12212 для числа 2 и b=1:

1. 2 → 2² = 4
2. 4 → 4 + 1 = 5
3. 5 → 5 + 1 = 6
4. 6 → 6² = 36
5. 36 → 36 + 1 = 37

Результат совпал.

Ответ: 1