У исполнителя Гамма две команды, которым присвоены номера: 1. прибавь 3; 2. умножь на b (b — неизвестное натуральное число; b ≥ 2). Выполняя первую из них, Гамма увеличивает число на экране на 3, а выполняя вторую, умножает это число на b. Программа для исполнителя Гамма — это последовательность номеров команд. Известно, что программа 11211 переводит число 1 в число 97. Определите значение b.

Решение:

Пусть начальное число равно \( x \). В данном случае \( x = 1 \).

Команды исполнителя Гамма:

• 1. Прибавить 3: \( x \rightarrow x + 3 \)
• 2. Умножить на \( b \): \( x \rightarrow x \cdot b \)

Программа 11211 означает последовательное выполнение команд: сначала команда 1, затем команда 1, потом команда 2, команда 1 и, наконец, команда 1.

Применим эту программу к начальному числу 1:

1. Команда 1: \( 1 + 3 = 4 \)
2. Команда 1: \( 4 + 3 = 7 \)
3. Команда 2: \( 7 \cdot b \)
4. Команда 1: \( 7b + 3 \)
5. Команда 1: \( (7b + 3) + 3 = 7b + 6 \)

Известно, что программа 11211 переводит число 1 в число 97. Следовательно, мы можем составить уравнение:

\( 7b + 6 = 97 \)

Решим это уравнение относительно \( b \):

1. Вычтем 6 из обеих частей уравнения: \( 7b = 97 - 6 \)
2. \( 7b = 91 \)
3. Разделим обе части на 7: \( b = \frac{91}{7} \)
4. \( b = 13 \)

Проверим условие \( b \geq 2 \). Так как \( 13 \geq 2 \), значение \( b = 13 \) подходит.

Ответ: 13