Турист идёт из одного города в другой. Каждый день он проходит на одно и то же расстояние больше, чем прошёл в предыдущий день. Известно, что за первый день турист прошёл 12 километров. Определите расстояние, которое прошёл турист за пятый день, если весь путь он прошёл за 7 дней, а расстояние между городами составляет 147 километров. Запишите решение и ответ.

Решение:

Это задача на арифметическую прогрессию. Мы знаем, что:

• Первый член прогрессии \( a_1 = 12 \) км (расстояние, пройденное в первый день).
• Сумма первых 7 членов прогрессии \( S_7 = 147 \) км (общее расстояние между городами).
• Количество дней \( n = 7 \).

Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \]

Где \( d \) — разность прогрессии (на сколько увеличивается расстояние каждый день).

Подставим известные значения:

\[ 147 = \frac{2 \cdot 12 + (7-1)d}{2} \]

Умножим обе части уравнения на 2:

\[ 294 = 24 + 6d \]

Вычтем 24 из обеих частей:

\[ 294 - 24 = 6d \] \[ 270 = 6d \]

Разделим обе части на 6, чтобы найти \( d \):

\[ d = \frac{270}{6} = 45 \]

Итак, каждый день турист проходил на 45 км больше, чем в предыдущий.

Теперь найдём расстояние, которое прошёл турист за пятый день. Для этого используем формулу n-го члена арифметической прогрессии:

\[ a_n = a_1 + (n-1)d \]

Нам нужно найти \( a_5 \):

\[ a_5 = a_1 + (5-1)d \] \[ a_5 = 12 + (4) \cdot 45 \] \[ a_5 = 12 + 180 \] \[ a_5 = 192 \]

Ответ: За пятый день турист прошёл 192 километра.