8. Центральный угол ВЕМ опирается на хорду ВМ длиной 177. При этом угол ЕВМ равен 60°. Найдите радиус окружности.

Разбираемся:

1. Угол \( \angle BEM \) центральный, и он равен дуге, на которую опирается. Угол \( \angle EBM = 60^{\circ} \) является вписанным и опирается на дугу \( EM \). Следовательно, \( \angle BEM = 2 \cdot \angle EBM = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ} \).
2. Используем теорему синусов: \( \frac{BM}{\sin{\angle BEM}} = 2R \), где \( R \) - радиус окружности.
3. Подставим значения: \( \frac{177}{\sin{120^{\circ}}} = 2R \).
4. \( \sin{120^{\circ}} = \sin{(180^{\circ} - 60^{\circ})} = \sin{60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
5. Тогда \( \frac{177}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \).
6. Упростим: \( \frac{177 \cdot 2}{\sqrt{3}} = 2R \).
7. Разделим обе части на 2: \( R = \frac{177}{\sqrt{3}} \).
8. Избавимся от иррациональности в знаменателе: \( R = \frac{177 \sqrt{3}}{3} = 59 \sqrt{3} \).

Ответ: \( 59\sqrt{3} \)