Центральные и вписанные углы. Свойство пересекающихся хорд окружности. Вписанный и центральный угол. Условие задания: В окружности с центром О даны точки А, В, С. Известно, что угол UAB = 135° и угол UAC = 161°. Найти: угол ВОС и угол ВАС.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

1. Угол BOC: Дуга BC равна центральному углу BOC. Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. Следовательно, \( \angle BOC = 2 \cdot \angle BAC \).
2. Угол BAC: Сумма углов вокруг точки O равна 360°. Мы имеем дуги AB, AC, BC. Углы, опирающиеся на эти дуги, связаны с центральными углами.
3. Угол UAB = 135° и угол UAC = 161°, это, вероятно, описки и должно быть $$\\text{градусная мера дуги}$$. Предположим, что \( \text{дуга } AB = 135^{\circ} \) и \( \text{дуга } AC = 161^{\circ} \).
4. Находим дугу BC: Сумма всех дуг окружности равна 360°. \( \text{Дуга } BC = 360^{\circ} - (\text{Дуга } AB + \text{Дуга } AC) \). \( \text{Дуга } BC = 360^{\circ} - (135^{\circ} + 161^{\circ}) = 360^{\circ} - 296^{\circ} = 64^{\circ} \).
5. Находим угол BAC: Угол BAC — вписанный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BAC = \frac{\text{Дуга } BC}{2} = \frac{64^{\circ}}{2} = 32^{\circ} \).
6. Находим угол BOC: Угол BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC. \( \angle BOC = \text{Дуга } BC = 64^{\circ} \).

Ответ: угол ВОС = 64°, угол ВАС = 32°.