Триместр 3. Алгебра, 7 класс. 2025-26 | IBLS Вопрос № 5 Баллов за вопрос: 2 Выполните письменное задание Упростите (1/3x^2 + 1/6y^2)(1/9x^4 - 1/18x^2y^2 + 1/36y^4) - 1/216y^6

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2) \). В нашем случае, если заметить, что \( \frac{1}{9}x^4 \) это \( (\frac{1}{3}x^2)^2 \), \( \frac{1}{36}y^4 \) это \( (\frac{1}{6}y^2)^2 \), и \( \frac{1}{18}x^2y^2 \) это \( \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{1}{6}y^2 \), то скобки \( (\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{36}y^4) \) являются полным квадратным трехчленом, который входит в формулу разности кубов.

Рассмотрим выражение: \( (\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{6}y^2) (\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{36}y^4) \)

Это похоже на формулу \( (a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3 + b^3 \), где \( a = \frac{1}{3}x^2 \) и \( b = \frac{1}{6}y^2 \).

Тогда, \( a^2 = (\frac{1}{3}x^2)^2 = \frac{1}{9}x^4 \), \( b^2 = (\frac{1}{6}y^2)^2 = \frac{1}{36}y^4 \), \( ab = \frac{1}{3}x^2 \cdot \frac{1}{6}y^2 = \frac{1}{18}x^2y^2 \).

Значит, \( (\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{6}y^2) (\frac{1}{9}x^4 - \frac{1}{18}x^2y^2 + \frac{1}{36}y^4) = (\frac{1}{3}x^2)^3 + (\frac{1}{6}y^2)^3 = \frac{1}{27}x^6 + \frac{1}{216}y^6 \).

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( (\frac{1}{27}x^6 + \frac{1}{216}y^6) - \frac{1}{216}y^6 \)

\( \frac{1}{27}x^6 + \frac{1}{216}y^6 - \frac{1}{216}y^6 \)

\( \frac{1}{27}x^6 \)

Ответ: \(\frac{1}{27}x^6\).