Три задачи из тетради.

Задача 1

Дано: Треугольник ABC, \( ∠ C = 90^\circ \), \( ∠ B = 36^\circ \), \( AC = 4 \) см.

Найти: Площадь \( S_{ABC} \).

Решение:

1. Так как \( ∠ C = 90^\circ \), то \( BC \) является катетом, прилежащим к углу \( 36^\circ \), а \( AC \) — противолежащим.
2. Используем тангенс угла \( B \): \( \tan(36^\circ) = \frac{AC}{BC} \).
3. Выразим \( BC \): \( BC = \frac{AC}{\tan(36^\circ)} = \frac{4}{\tan(36^\circ)} \) см.
4. Найдем площадь треугольника: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} · AC · BC = \frac{1}{2} · 4 · \frac{4}{\tan(36^\circ)} = \frac{8}{\tan(36^\circ)} \) см².

Ответ: Площадь треугольника равна \( \frac{8}{\tan(36^\circ)} \) см².

Задача 2

Дано: Трапеция KLMN, \( KL – \) большее основание, \( LM \) и \( KN \) — боковые стороны, \( KH – \) высота.

Найти: Периметр \( P_{KLMN} \).

Решение:

Дан чертёж трапеции с указанными длинами сторон и высотой. Из чертежа видно:

• Высота \( KH = 3 \) см.
• Основание \( LM = 4 \) см.
• Основание \( KN = 2 \) см.
• Основание \( HN = 8 \) см.

Для нахождения периметра нам нужно знать длину боковой стороны \( LM \). По чертежу \( LM = 4 \) см, но также видно, что \( MN \) имеет длину 8 см. Возможно, \( LM \) и \( KN \) обозначены некорректно или это разные фигуры. Предположим, что \( LM \) и \( KN \) - это длины боковых сторон. Так как \( LM = 4 \) см, а \( KN = 2 \) см, то это не равнобедренная трапеция. Длина основания \( HN \) = 8 см. Чтобы найти периметр, нужно знать длину боковой стороны \( LM \) и большего основания \( KL \).

Из чертежа мы можем предположить, что \( KH \) — это высота, и \( ∠ K = 90^\circ \). Тогда \( KN \) — это боковая сторона, а \( HN \) — часть основания.

Если \( KN=2 \) см (боковая сторона), \( KH=3 \) см (высота), то \( HN = √{KN^2 - KH^2} = √{2^2 - 3^2} = √{4-9} = √{-5} \), что невозможно.

Исходя из надписей, предположим, что:

• Боковая сторона \( KN = 2 \) см.
• Высота \( KH = 3 \) см.
• Отрезок \( HN = 8 \) см.
• Боковая сторона \( LM = 4 \) см.
• Верхнее основание \( MN = 4 \) см.

В этом случае, для нахождения \( HL \) (части нижнего основания), нам нужно знать, является ли трапеция равнобедренной. Если предположить, что \( MN \) - это меньшее основание, а \( KL \) - большее, и \( KH \) и \( MF \) - высоты (где \( F \) на \( KL \)), то \( HF = MN = 4 \) см.

Если \( LM = 4 \) см, то \( LF = √{LM^2 - LF^2} \). Мы не знаем \( LF \).

На основании предоставленных данных и изображений, задача не может быть решена однозначно из-за противоречивых или неполных данных.

Ответ: Невозможно решить из-за недостатка/противоречивости данных.

Задача 3

Дано: Окружность с центром в точке \( O \). Точки \( A, B, C \) на окружности. \( ∠ AOC = 84^\circ \).

Найти: \( ∠ AOC \), \( ∠ ABC \).

Решение:

1. Центральный угол \( ∠ AOC \) равен 84°, как указано в условии.
2. Вписанный угол \( ∠ ABC \) опирается на ту же дугу, что и центральный угол \( ∠ AOC \).
3. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу: \( ∠ ABC = ° ∠ AOC / 2 \).
4. \( ∠ ABC = 84^\circ / 2 = 42^\circ \).

Ответ: \( ∠ AOC = 84^\circ \), \( ∠ ABC = 42^\circ \).