Три точки лежат на окружности с центром О. Найди ∠CAO, если ∠ADC = 61°. Ответ дай в градусах.

Решение:

Угол \( ADC \) является вписанным углом, опирающимся на дугу \( AC \). Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен \( \angle AOC \). Связь между вписанным и центральным углом, опирающимися на одну дугу, следующая: центральный угол в два раза больше вписанного.

Следовательно, \( \angle AOC = 2 \cdot \angle ADC \).

Подставляем значение \( \angle ADC \):

\( \angle AOC = 2 \cdot 61^{\circ} = 122^{\circ} \).

Треугольник \( AOC \) является равнобедренным, так как \( OA \) и \( OC \) — радиусы окружности. Следовательно, \( OA = OC \).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому \( \angle OAC = \angle OCA \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^{\circ} \). В треугольнике \( AOC \):

\( \angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^{\circ} \).

Заменяем \( \angle OCA \) на \( \angle OAC \) и подставляем значение \( \angle AOC \):

\( \angle OAC + \angle OAC + 122^{\circ} = 180^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle OAC = 180^{\circ} - 122^{\circ} \).

\( 2 \cdot \angle OAC = 58^{\circ} \).

\( \angle OAC = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \).

Таким образом, \( \angle CAO = 29^{\circ} \).

Ответ: 29.