Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.

Решение:

• В четырехугольнике, в который можно вписать окружность (такой четырехугольник называется описанным), выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна.
• Пусть стороны четырехугольника равны a, b, c, d. По условию, три последовательные стороны равны 6 см, 8 см и 9 см.
• Рассмотрим два случая:
• Случай 1: Стороны равны a=6, b=8, c=9. Тогда по свойству описанного четырехугольника: a + c = b + d.
• 6 + 9 = 8 + d
• 15 = 8 + d
• d = 15 - 8 = 7 см.
• Периметр P = a + b + c + d = 6 + 8 + 9 + 7 = 30 см.
• Случай 2: Стороны равны a=8, b=6, c=9. Тогда: a + c = b + d.
• 8 + 9 = 6 + d
• 17 = 6 + d
• d = 17 - 6 = 11 см.
• Периметр P = a + b + c + d = 8 + 6 + 9 + 11 = 34 см.
• Случай 3: Стороны равны a=6, b=9, c=8. Тогда: a + c = b + d.
• 6 + 8 = 9 + d
• 14 = 9 + d
• d = 14 - 9 = 5 см.
• Периметр P = a + b + c + d = 6 + 9 + 8 + 5 = 28 см.
• В задаче сказано "три последовательные стороны", что означает, что они идут друг за другом. Если принять обозначения сторон по порядку А, B, C, D, то возможны следующие варианты:
• 1) A=6, B=8, C=9. Тогда A+C = B+D => 6+9 = 8+D => 15 = 8+D => D=7. Периметр = 6+8+9+7 = 30 см.
• 2) A=8, B=6, C=9. Тогда A+C = B+D => 8+9 = 6+D => 17 = 6+D => D=11. Периметр = 8+6+9+11 = 34 см.
• 3) A=6, B=9, C=8. Тогда A+C = B+D => 6+8 = 9+D => 14 = 9+D => D=5. Периметр = 6+9+8+5 = 28 см.
• Наиболее стандартной трактовкой является, что заданы три последовательные стороны.
• Пусть стороны четырехугольника обозначены как $$a, b, c, d$$.
• По условию, три последовательные стороны равны 6 см, 8 см и 9 см.
• В четырехугольнике, в который можно вписать окружность, выполняется свойство: сумма противоположных сторон равна.
• $$a+c = b+d$$
• Рассмотрим случаи, какие три стороны нам даны.
• Случай 1: $$a=6, b=8, c=9$$.
• Тогда $$6+9 = 8+d ightarrow 15 = 8+d ightarrow d=7$$ см.
• Периметр = $$a+b+c+d = 6+8+9+7 = 30$$ см.
• Случай 2: $$a=8, b=6, c=9$$.
• Тогда $$8+9 = 6+d ightarrow 17 = 6+d ightarrow d=11$$ см.
• Периметр = $$a+b+c+d = 8+6+9+11 = 34$$ см.
• Случай 3: $$a=6, b=9, c=8$$.
• Тогда $$6+8 = 9+d ightarrow 14 = 9+d ightarrow d=5$$ см.
• Периметр = $$a+b+c+d = 6+9+8+5 = 28$$ см.
• Из всех возможных вариантов, первый случай является наиболее типичным для подобных задач.

Ответ: Четвертая сторона может быть равна 7 см (периметр 30 см), 11 см (периметр 34 см) или 5 см (периметр 28 см).