Три луча, выходящие из одной точки, разбивают плоскость на 3 различных угла, измеряемых целым числом градусов. Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего. Сколько значений может принимать величина среднего угла?

Решение:

Обозначим углы как \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) в порядке возрастания, то есть \( \alpha \le \beta \le \gamma \). Все углы измеряются целым числом градусов.

Сумма углов, разбивающих плоскость, равна 360 градусам: \( \alpha + \beta + \gamma = 360 \).

Наибольший угол в 4 раза больше наименьшего: \( \gamma = 4 \alpha \).

Подставим \( \gamma \) в первое уравнение: \( \alpha + \beta + 4\alpha = 360 \) \( \Rightarrow 5\alpha + \beta = 360 \).

Из этого уравнения выразим \( \beta \): \( \beta = 360 - 5\alpha \).

Учитывая условие \( \alpha \le \beta \le \gamma \), подставим выражения для \( \beta \) и \( \gamma \):

1. \( \alpha \le \beta \Rightarrow \alpha \le 360 - 5\alpha \) \( \Rightarrow 6\alpha \le 360 \) \( \Rightarrow \alpha \le 60 \).
2. \( \beta \le \gamma \Rightarrow 360 - 5\alpha \le 4\alpha \) \( \Rightarrow 360 \le 9\alpha \) \( \Rightarrow \alpha \ge 40 \).

Таким образом, наименьший угол \( \alpha \) может принимать значения от 40 до 60 градусов включительно. То есть \( 40 ≤ \alpha ≤ 60 \).

Нас интересует количество значений среднего угла \( \beta \). Мы знаем, что \( \beta = 360 - 5\alpha \).

Найдем минимальное и максимальное значения \( \beta \):

• При \( \alpha = 40 \): \( \beta = 360 - 5 × 40 = 360 - 200 = 160 \).
• При \( \alpha = 60 \): \( \beta = 360 - 5 × 60 = 360 - 300 = 60 \).

Значения \( \beta \) должны быть целыми числами, так как \( \alpha \) — целое число. \( \beta \) принимает значения от 60 до 160. Проверим условие \( \alpha \le \beta \le \gamma \) для крайних случаев:

• Если \( \alpha=40 \), то \( \gamma=160 \). \( \beta=160 \). Углы: 40, 160, 160. Условие \( \alpha ≤ \beta ≤ \gamma \) выполнено.
• Если \( \alpha=60 \), то \( \gamma=240 \). \( \beta=60 \). Углы: 60, 60, 240. Условие \( \alpha ≤ \beta ≤ \gamma \) выполнено.

Следовательно, \( \beta \) может принимать любые целые значения от 60 до 160. Для каждого такого \( \beta \) можно подобрать такое \( \alpha \), чтобы \( 5\alpha = 360 - \beta \) и \( \alpha \) было целым. Это возможно, если \( 360 - \beta \) делится на 5, что верно для \( \beta \) заканчивающихся на 0 или 5. Однако, \( \alpha \) тоже должно быть в пределах [40, 60].

У нас есть \( \beta = 360 - 5\alpha \). Поскольку \( \alpha \) может быть любым целым числом от 40 до 60, то \( 5\alpha \) может принимать значения: 200, 205, 210, ..., 300.

Соответственно, \( \beta \) будет принимать значения: \( 360 - 200 = 160 \), \( 360 - 205 = 155 \), \( 360 - 210 = 150 \), ..., \( 360 - 300 = 60 \).

Количество таких значений \( \beta \) равно количеству возможных значений \( \alpha \). Количество целых чисел от 40 до 60 включительно равно \( 60 - 40 + 1 = 21 \).

Значения \( \beta \) будут: 160, 155, 150, 145, 140, 135, 130, 125, 120, 115, 110, 105, 100, 95, 90, 85, 80, 75, 70, 65, 60.

Все эти значения \( \beta \) удовлетворяют условию \( 60 ≤ \beta ≤ 160 \).

Следовательно, средний угол \( \beta \) может принимать 21 значение.

Ответ: 21