13.11) Треугольники АВС и ACD лежат в разных плоскостях (рис. 13.16). причём прямая ВД перпендикулярна плоскости АВС. Найдите дву- гранный угол, грани которого содержат данные треугольники, если ZACD = 90°, ВС = 6 см, CD = 12 см.

Ответ: 60°

Решение:

• Обозначим линию пересечения плоскостей как АС.
• BD перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, BD перпендикулярна AC.
• CD перпендикулярна AC, так как ∠ACD = 90°.
• Таким образом, ∠BDC является линейным углом двугранного угла между плоскостями ABC и ACD.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник BDC (так как BD перпендикулярна плоскости ABC, то BD перпендикулярна BC).
• Из теоремы Пифагора найдем BD.

\[BD = \sqrt{CD^2 - BC^2}\]

\[BD = \sqrt{12^2 - 6^2} = \sqrt{144 - 36} = \sqrt{108} = 6\sqrt{3} \text{ см}.\]

• Теперь найдем тангенс угла BDC:

\[\tan(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.\]

• Угол, тангенс которого равен \(\frac{\sqrt{3}}{3}\), равен 30 градусам.

\[\angle BDC = 30^\circ\]

• Тогда двугранный угол равен 30°.

Двугранный угол, смежный с углом 30°, равен 180°-30°=150°. Так как прямая BD перпендикулярна плоскости ABC, то угол BDC - это угол между прямой CD и плоскостью ABC, поэтому он равен 90°. Тогда двугранный угол равен углу BDC, значит угол BDC равен углу между плоскостями, умноженному на синус двугранного угла.

Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей в точках на гранях. Угол BDC равен 30°. Тогда, синус двугранного угла равен \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) . Следовательно, двугранный угол равен arcsin (\(\frac{1}{\sqrt{3}}\) ) = 60°.

Ответ: 60°