Треугольник LMN, вписанный в окружность, делит её на три дуги. Вычисли угол LON и углы треугольника LMN, если даны два центральных угла: LOM = 120° и ∠ MON = 120°.

Решение:

Центральный угол, опирающийся на дугу, равен величине этой дуги. Дуга MN = \( 120^{\circ} \) и дуга LM = \( 120^{\circ} \).

Угол LON — это центральный угол, опирающийся на дугу LN. Величина дуги LN равна полной окружности минус сумма дуг MN и LM:

Дуга LN = \( 360^{\circ} - (\angle MON + \angle LOM) \) = \( 360^{\circ} - (120^{\circ} + 120^{\circ}) \) = \( 360^{\circ} - 240^{\circ} \) = \( 120^{\circ} \).

Следовательно, центральный угол LON = \( 120^{\circ} \).

Углы вписанного треугольника равны половине величины дуг, на которые опираются:

• Угол L = \( \frac{1}{2} \text{дуга} MN \) = \( \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} \) = \( 60^{\circ} \).
• Угол M = \( \frac{1}{2} \text{дуга} LN \) = \( \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} \) = \( 60^{\circ} \).
• Угол N = \( \frac{1}{2} \text{дуга} LM \) = \( \frac{1}{2} \cdot 120^{\circ} \) = \( 60^{\circ} \).

Сумма углов треугольника = \( 60^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 180^{\circ} \).

Ответ: \( \angle LON = 120^{\circ} \). Углы треугольника: \( \angle L = 60^{\circ} \), \( \angle M = 60^{\circ} \), \( \angle N = 60^{\circ} \).