Треугольник ABC вписан в окружность так, что AC – диаметр, вершина B лежит на окружности. Во сколько раз AB больше высоты BH треугольника ABC, если AC в два раза больше чем BC.

Решение:

• Т.к. AC – диаметр, и вершина B лежит на окружности, то угол ABC – прямой (опирается на диаметр). Следовательно, треугольник ABC – прямоугольный.
• Пусть BC = x, тогда AC = 2x (по условию).
• По теореме Пифагора: AB² + BC² = AC²
• AB² + x² = (2x)²
• AB² + x² = 4x²
• AB² = 3x²
• AB = x\(\sqrt{3}\)
• В прямоугольном треугольнике высота, проведённая из вершины прямого угла, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу:
• BH = (AB * BC) / AC
• BH = (x\(\sqrt{3}\) * x) / (2x) = x\(\sqrt{3}\) / 2
• Теперь найдём отношение AB к BH:
• (x\(\sqrt{3}\)) / (x\(\sqrt{3}\) / 2) = 2

Ответ: AB больше высоты BH в 2 раза.