2. Третий и седьмой члены арифметической прогрессии равны 2 и 14 соответственно. Найдите её первый член и сумму первых двенадцати членов.

Шаг 1: Выразим третий и седьмой члены через первый член и разность прогрессии: \[ a_3 = a_1 + 2d = 2 \] \[ a_7 = a_1 + 6d = 14 \] Шаг 2: Решим систему уравнений. Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти разность d: \[ (a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 14 - 2 \] \[ 4d = 12 \] \[ d = 3 \] Шаг 3: Подставим значение d в первое уравнение, чтобы найти первый член a₁: \[ a_1 + 2 \cdot 3 = 2 \] \[ a_1 + 6 = 2 \] \[ a_1 = 2 - 6 = -4 \] Шаг 4: Найдем сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, используя формулу: \[ S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n \] Подставим n = 12, a₁ = -4 и d = 3: \[ S_{12} = \frac{2 \cdot (-4) + (12-1) \cdot 3}{2} \cdot 12 \] \[ S_{12} = \frac{-8 + 11 \cdot 3}{2} \cdot 12 \] \[ S_{12} = \frac{-8 + 33}{2} \cdot 12 \] \[ S_{12} = \frac{25}{2} \cdot 12 \] \[ S_{12} = 25 \cdot 6 = 150 \]