Тренировочные задания: №1. Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Найдите отрезок CD, если BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см; №2. Телефонная проволока длиной 15 м протянута от телефонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от поверхности земли, к дому, где её прикрепили на высоте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом, предполагая, что проволока не провисает. №3. Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите длины наклонных, если одна из них на 26 см больше другой, а проекции наклонных равны 12 см и 40 см.

№1. Обозначим точку A как начало координат (0,0,0). Так как прямые AB, AC и AD попарно перпендикулярны, то направим их вдоль осей x, y и z соответственно. Тогда координаты точек будут:

• B(9, 0, 0)
• C(0, 16, 0)
• D(0, 0, 5)

Отрезок CD можно найти как расстояние между точками C и D в трехмерном пространстве. Формула для расстояния между двумя точками $$(x_1, y_1, z_1)$$ и $$(x_2, y_2, z_2)$$: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$ В нашем случае: $$CD = \sqrt{(0 - 0)^2 + (0 - 16)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{0 + 256 + 25} = \sqrt{281}$$ $$CD = \sqrt{281} \approx 16.76 \text{ см}$$
Ответ: $$\sqrt{281}$$ см или примерно 16.76 см. №2. Представим себе прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза - это длина проволоки (15 м).
• Один катет - разница высот между точкой крепления на столбе и на доме (20 м - 8 м = 12 м).
• Второй катет - расстояние между домом и столбом (которое нужно найти).

По теореме Пифагора: $$a^2 + b^2 = c^2$$ где:

• c - гипотенуза (15 м)
• a - один катет (12 м)
• b - второй катет (расстояние между домом и столбом)

Тогда: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$
Ответ: Расстояние между домом и столбом равно 9 м. №3. Пусть одна наклонная равна x, тогда другая равна x + 26. Пусть первая проекция 12 см, вторая - 40 см. Тогда получим два прямоугольных треугольника с общим катетом (расстояние от точки до плоскости). Запишем теорему Пифагора для обоих треугольников: $$h^2 + 12^2 = x^2$$ $$h^2 + 40^2 = (x + 26)^2$$ Выразим h^2 из первого уравнения и подставим во второе: $$h^2 = x^2 - 12^2$$ $$x^2 - 144 + 1600 = x^2 + 52x + 676$$ Упростим и найдем x: $$1456 = 52x + 676$$ $$52x = 1456 - 676 = 780$$ $$x = \frac{780}{52} = 15$$ Тогда вторая наклонная равна: $$x + 26 = 15 + 26 = 41$$
Ответ: Длины наклонных равны 15 см и 41 см.