Тренажёр № 7. Найти общий вид первообразных для функции.

Решение:

Для нахождения первообразных используем свойства интегралов и тригонометрические тождества.

1. \( y = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 \) \(\Rightarrow\) \( Y = \operatorname{tg} x - x + C \)
2. \( y = \frac{2}{\cos^2 x} + 2x \) \(\Rightarrow\) \( Y = 2\operatorname{tg} x + x^2 + C \)
3. \( y = 4x - \frac{1}{\sin^2 x} \) \(\Rightarrow\) \( Y = 2x^2 + \operatorname{ctg} x + C \)
4. \( y = 1 + \frac{3}{\sin^2 x} \) \(\Rightarrow\) \( Y = x - 3\operatorname{ctg} x + C \)
5. \( y = \frac{1}{(\cos x)^2} - \frac{1}{(\sin x)^2} \) \(\Rightarrow\) \( Y = \operatorname{tg} x - (-\operatorname{ctg} x) + C = \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x + C \)
6. \( y = \operatorname{tg} x \cdot \operatorname{ctg} x = 1 \) (для \( x \neq \frac{\pi n}{2} \)) \(\Rightarrow\) \( Y = x + C \)
7. \( y = \operatorname{tg} 0,5\pi + 2 \) — это константа, так как \( \operatorname{tg} 0,5\pi \) не определено. Условие некорректно.
8. \( y = \operatorname{ctg} 0,5\pi \cdot \operatorname{tg} 0,25\pi \) \( = 0 \cdot 1 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( Y = C \)
9. \( y = \operatorname{ctg} 0,25\pi \cdot \operatorname{tg} 0 \) \( = 1 \cdot 0 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( Y = C \)
10. \( y = \operatorname{tg} 0,25\pi + 1 \) \( = 1 + 1 = 2 \) \(\Rightarrow\) \( Y = 2x + C \)

Ответ: 1. \( \operatorname{tg} x - x + C \) 2. \( 2\operatorname{tg} x + x^2 + C \) 3. \( 2x^2 + \operatorname{ctg} x + C \) 4. \( x - 3\operatorname{ctg} x + C \) 5. \( \operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x + C \) 6. \( x + C \) 7. Некорректное условие. 8. \( C \) 9. \( C \) 10. \( 2x + C \)