TR = 8 см. Периметр треугольника PTR на 4 см больше периметра треугольника TPS. На рисунке точки R, O, T лежат на одной прямой, точки P, O, S — на одной прямой; RO = OT, ∠PRO = ∠OTS. Найдите длину отрезка OS (в см).

По рисунку RO = OT, углы PRO и OTS равны, а углы ROP и TOS — вертикальные, поэтому они тоже равны. Следовательно, треугольники ROP и TOS равны по стороне и двум прилежащим углам.

Из равенства треугольников получаем RP = TS и OP = OS.

Обозначим периметры треугольников PTR и TPS через P₁ и P₂. Тогда

\(P_1-P_2=(PT+TR+RP)-(TP+PS+ST)=TR-PS\), поскольку \(RP=ST\).

Так как \(P_1-P_2=4\) см и \(TR=8\) см, имеем:

\(4=8-PS\), поэтому \(PS=4\) см.

Точки P, O, S лежат на одной прямой, а \(OP=OS\), значит \(OS=\frac{PS}{2}=\frac{4}{2}=2\) см.

Ответ: 2 см.