17) Толя задумал два натуральных числа. Он забыл задуманные числа, но точно помнит, что их сумма равна 23, а про разность абсолютно уверен, что она меньше 11, но больше 7. Какие два числа задумал Толя? Найдите все варианты и докажите, что других нет. Решение.

Решение.

Пусть первое число x, а второе y. Тогда выполняются следующие условия:

• x + y = 23
• 7 < x - y < 11

Выразим y через x из первого уравнения: y = 23 - x.

Подставим это во второе неравенство:

$$7 < x - (23 - x) < 11$$

$$7 < 2x - 23 < 11$$

$$30 < 2x < 34$$

$$15 < x < 17$$

Так как x - натуральное число, то x может быть равно 16.

Найдем y: y = 23 - x = 23 - 16 = 7.

Проверим условие на разность: 16 - 7 = 9. 7 < 9 < 11. Условие выполняется.

Какие два числа задумал Толя? Числа 16 и 7.

Других вариантов нет, так как x может быть только 16, чтобы разность удовлетворяла условию.

Ответ: Толя задумал числа 16 и 7.