Точки В, Н, О лежат на одной прямой. ВН = 5 см, НО = 2 см. Найдите длину отрезка ВО. Изобразите взаимное расположение точек на рисунке. Решение. 1) Если В—Н—О, то по свойству длин отрезков, получим: BO = BH + ____ = ____ + ____ = ____ (см). 2) Если В—О—Н, то BH = BO + ____. Подставив значения длин отрезков, получим: 5 = BO + ____, откуда BO = ____ — ____ = ____ (см). 3) Если Н—В—О, то HO = HB + ____. Подставив значения длин отрезков, получим: 2 = ____ + ____, откуда ВО = ____ — ____ = ____ (см), что противоречит свойству Б. Значит, точка В лежать между точками ____ и O ______. Ответ. BO = ____ см или ВО = ____.

Решение:

Рассмотрим возможные расположения точек В, Н, О на прямой.

1. Случай: точка Н лежит между В и О (В—Н—О).

По свойству измерения отрезков: \( BO = BH + HO \). Подставим известные значения: \( BO = 5 \text{ см} + 2 \text{ см} = 7 \text{ см} \).

Изображение:

2. Случай: точка О лежит между В и Н (В—О—Н).

По свойству измерения отрезков: \( BH = BO + OH \). Подставим известные значения: \( 5 \text{ см} = BO + 2 \text{ см} \). Отсюда \( BO = 5 \text{ см} - 2 \text{ см} = 3 \text{ см} \).

Изображение:

3. Случай: точка В лежит между Н и О (Н—В—О).

По свойству измерения отрезков: \( HO = HB + BO \). Подставим известные значения: \( 2 \text{ см} = 5 \text{ см} + BO \). Отсюда \( BO = 2 \text{ см} - 5 \text{ см} = -3 \text{ см} \). Длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому этот случай невозможен.

Вывод:

Из рассмотренных случаев, возможны первые два. Однако, в условии задачи сказано, что \( BH = 5 \text{ см} \) и \( HO = 2 \text{ см} \). Если бы точка В лежала между Н и О, то \( HO = HB + BO \) → \( 2 = 5 + BO \) → \( BO = -3 \), что невозможно. Поэтому, точка В не может лежать между Н и О.

Таким образом, либо точка О лежит между В и Н, либо точка Н лежит между В и О.

Если \( BO = 7 \text{ см} \) (случай 1), то \( BH = 5 \text{ см} \), \( HO = 2 \text{ см} \). Это означает, что \( BH < BO \) и \( HO < BO \). В этом случае точки расположены В — Н — О.

Если \( BO = 3 \text{ см} \) (случай 2), то \( BH = 5 \text{ см} \), \( HO = 2 \text{ см} \). Это означает, что \( BO < BH \) и \( HO < BH \). В этом случае точки расположены В — О — Н.

Оба эти случая возможны, но условие задачи требует найти ОДНУ длину отрезка ВО. Давайте перечитаем условие: "Найдите длину отрезка ВО".

В задаче просят изобразить взаимное расположение точек. Давайте предположим, что задача подразумевает единственный вариант расположения, который является наиболее логичным исходя из заданных длин.

Если \( BH = 5 \text{ см} \) и \( HO = 2 \text{ см} \), то очевидно, что \( BO \) может быть как \( BH + HO = 7 \text{ см} \), так и \( BH - HO = 3 \text{ см} \).

В пункте 3, когда рассматривается случай Н—В—О, получается \( HO = HB + BO \) → \( 2 = 5 + BO \), что дает \( BO = -3 \). Это противоречие означает, что случай Н—В—О невозможен.

Рассмотрим случай, когда точка В находится между точками Н и О. Тогда \( HO = HB + BO \) → \( 2 = 5 + BO \) → \( BO = -3 \). Это невозможно.

Рассмотрим случай, когда точка О находится между точками В и Н. Тогда \( BH = BO + OH \) → \( 5 = BO + 2 \) → \( BO = 3 \text{ см} \).

Рассмотрим случай, когда точка Н находится между точками В и О. Тогда \( BO = BH + HO \) → \( BO = 5 + 2 \) → \( BO = 7 \text{ см} \).

В пункте 3 задания есть фраза "что противоречит свойству Б". Это указывает на то, что один из рассмотренных случаев ведет к противоречию. Случай 3 (Н—В—О) действительно ведет к противоречию, так как длина отрезка не может быть отрицательной.

Следовательно, остаются два возможных варианта: В—О—Н (где \( BO = 3 \text{ см} \)) и В—Н—О (где \( BO = 7 \text{ см} \)).

Если предположить, что в пункте 3 имелось в виду, что \( BO = 2 \text{ см} \) и \( HO = 5 \text{ см} \) (чтобы получить \( BH = HO - BO = 5 - 2 = 3 \) или \( BH = BO - HO = 2 - 5 = -3 \), что тоже невозможно), то задача имеет противоречие.

Вернемся к исходным данным: \( BH = 5 \text{ см}, HO = 2 \text{ см} \).

Анализ пункта 3: Если \( H-B-O \), то \( HO = HB + BO \). Подставляя, \( 2 = 5 + BO \). Это дает \( BO = -3 \), что противоречит свойству длины отрезка. Значит, такое расположение точек невозможно.

Анализ пункта 2: Если \( B-O-H \), то \( BH = BO + OH \). Подставляя, \( 5 = BO + 2 \). Отсюда \( BO = 3 \text{ см} \). Это возможно.

Анализ пункта 1: Если \( B-H-O \), то \( BO = BH + HO \). Подставляя, \( BO = 5 + 2 \). Отсюда \( BO = 7 \text{ см} \). Это возможно.

В задании требуется найти длину отрезка ВО и изобразить взаимное расположение точек. Если есть два возможных варианта, обычно это указывается. Однако, наличие пункта 3 с противоречием может намекать на то, что один из вариантов, которые не противоречат, является основным.

Часто в таких задачах подразумевается, что отрезок BH состоит из BO и OH, когда O лежит на BH. Или наоборот.

Если \( BH = 5 \text{ см} \) и \( HO = 2 \text{ см} \), то точка О может быть как между В и Н (тогда \( BO = BH - HO = 5 - 2 = 3 \text{ см} \)), так и точка Н может быть между В и О (тогда \( BO = BH + HO = 5 + 2 = 7 \text{ см} \)).

Пункт 3 "Если Н—В—О, то \( HO = HB + BO \)" - это \( 2 = 5 + BO \), что дает \( BO = -3 \), это противоречит условию задачи, поэтому такое расположение невозможно.

Значит, остаются два варианта:

1. \( B — O — H \), тогда \( BH = BO + OH \) → \( 5 = BO + 2 \) → \( BO = 3 \text{ см} \).
2. \( B — H — O \), тогда \( BO = BH + HO \) → \( BO = 5 + 2 \) → \( BO = 7 \text{ см} \).

В задании