Точки М, N, C, расположенные на окружности, делят её на три дуги: MN, NC и МС, градусные величины которых относятся как 4:5:6. Найдите градусную меру меньшего из углов треугольника MNC.

Решение:

Общая градусная мера окружности составляет 360°. Дуги MN, NC и MC относятся как 4:5:6. Найдем градусные меры каждой дуги.

1. Обозначим части как 4x, 5x и 6x.
2. Составим уравнение: \( 4x + 5x + 6x = 360° \)
3. Решим уравнение: \( 15x = 360° \) \( x = \frac{360°}{15} = 24° \)
4. Найдем градусные меры дуг:
   • Дуга MN = \( 4 \cdot 24° = 96° \)
   • Дуга NC = \( 5 \cdot 24° = 120° \)
   • Дуга MC = \( 6 \cdot 24° = 144° \)
5. Угол MNC является вписанным углом, опирающимся на дугу MC. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
6. Найдем угол MNC: \( \angle MNC = \frac{1}{2} \text{дуга MC} = \frac{1}{2} 144° = 72° \)
7. Угол NCM является вписанным углом, опирающимся на дугу MN.
8. Найдем угол NCM: \( \angle NCM = \frac{1}{2} \text{дуга MN} = \frac{1}{2} 96° = 48° \)
9. Угол CMN является вписанным углом, опирающимся на дугу NC.
10. Найдем угол CMN: \( \angle CMN = \frac{1}{2} \text{дуга NC} = \frac{1}{2} 120° = 60° \)
11. Сравним углы треугольника MNC: \( 72°, 48°, 60° \).
12. Наименьшим углом является угол NCM, его градусная мера равна 48°.

Ответ: 48°.