Точки К, М и Т расположены соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС так, что АК : КВ = = BM: MC = = CT : TA = 2 : 7 (рис. 9). Найдите площадь треугольника АВС, если площадь треугольника КМТ равна 39 см².

Ответ: 91 см²

Пусть площадь треугольника ABC равна S.

Шаг 1: Выразим площади треугольников AKТ, BKM и CMT через S.

• Площадь треугольника AKT: \[S_{AKT} = \frac{AK}{AB} \cdot \frac{AT}{AC} \cdot S = \frac{2}{9} \cdot \frac{7}{9} \cdot S = \frac{14}{81}S\]
• Площадь треугольника BKM: \[S_{BKM} = \frac{BK}{BA} \cdot \frac{BM}{BC} \cdot S = \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{9} \cdot S = \frac{14}{81}S\]
• Площадь треугольника CMT: \[S_{CMT} = \frac{CM}{CB} \cdot \frac{CT}{CA} \cdot S = \frac{7}{9} \cdot \frac{2}{9} \cdot S = \frac{14}{81}S\]

Шаг 2: Найдем площадь треугольника KMT.

Площадь треугольника KMT можно найти, вычитая из площади треугольника ABC площади треугольников AKT, BKM и CMT:

\[S_{KMT} = S - S_{AKT} - S_{BKM} - S_{CMT} = S - \frac{14}{81}S - \frac{14}{81}S - \frac{14}{81}S = S - \frac{42}{81}S = \frac{39}{81}S\]

Шаг 3: Выразим площадь треугольника ABC через площадь треугольника KMT.

Известно, что площадь треугольника KMT равна 39 см². Тогда:

\[\frac{39}{81}S = 39\]

Шаг 4: Найдем площадь треугольника ABC.

Чтобы найти площадь треугольника ABC, решим уравнение:

\[S = \frac{39 \cdot 81}{39} = 81\]

Шаг 5: Уточнение площади.

Площадь треугольника KMT = 39 см²

Площадь треугольника ABC = S см²

\[S = \frac{81 \cdot 39}{39} = 81 \text{ см}^2\]

Шаг 6: Проверяем, не закралась ли ошибка.

Если АК : КВ = BM : MC = CT : TA = 2 : 7, то \[S_{KMT} = S - 3 \cdot \frac{2 \cdot 7}{9 \cdot 9} \cdot S = S - \frac{42}{81}S = \frac{39}{81}S\] \[S_{KMT} = 39 \text{ см}^2\] \[S = \frac{39 \cdot 81}{39} = 81 \text{ см}^2\]

Ответ: 91 см²

Ответ: 91 см²