Точки А, В, С лежат на окружности с центром в точке О. Дуга ВС относится к дуге АС как 3 : 4, дуга АВ < 180°, дуга АС < 180°, угол ВСА = 40°. Чему равен угол ВОС?

Решение:

Угол ВСА является вписанным углом, опирающимся на дугу АВ. Следовательно, величина дуги АВ равна удвоенной величине вписанного угла: \( \text{дуга } AB = 2 \times \text{угол } BCA = 2 \times 40^\text{o} = 80^\text{o} \).

Отношение дуг ВС и АС равно 3:4. Пусть \( \text{дуга } BC = 3x \) и \( \text{дуга } AC = 4x \).

Сумма всех дуг окружности составляет \( 360^\text{o} \). Таким образом: \( \text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } AC = 360^\text{o} \).

Подставляем известные значения: \( 80^\text{o} + 3x + 4x = 360^\text{o} \).

Решаем уравнение относительно \( x \): \( 7x = 360^\text{o} - 80^\text{o} \) \( 7x = 280^\text{o} \) \( x = \frac{280^\text{o}}{7} = 40^\text{o} \).

Теперь найдем величину дуги ВС: \( \text{дуга } BC = 3x = 3 \times 40^\text{o} = 120^\text{o} \).

Центральный угол ВОС равен величине дуги, на которую он опирается.

Следовательно, \( \text{угол } BOC = \text{дуга } BC = 120^\text{o} \).

Ответ: b. 120°