Контрольные задания > Точки А,В,С и D лежат на окружности так, что AD – диаметр, угол CAD равен 30°, угол ВСА = 40". Найдите величину угла АВС.
Вопрос:

Точки А,В,С и D лежат на окружности так, что AD – диаметр, угол CAD равен 30°, угол ВСА = 40". Найдите величину угла АВС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение:

  1. Угол ABD опирается на дугу AD. Так как AD - диаметр, дуга AD равна 180°. Угол ABD, опирающийся на диаметр, равен 90°.
  2. Угол ACD опирается на дугу AD. Аналогично, угол ACD = 90°.
  3. В треугольнике ACD, угол ADC = 180° - 90° - 30° = 60°.
  4. Угол ABC и угол ADC опираются на одну и ту же дугу AC. Следовательно, угол ABC = угол ADC = 60°.
  5. Однако, в условии есть опечатка: угол ВСА = 40°. Требуется найти угол АВС.
  6. Угол ADC опирается на дугу ABC. Угол ABC опирается на дугу ADC.
  7. Угол CAD = 30°. Он опирается на дугу CD. Значит, дуга CD = 2 * 30° = 60°.
  8. Угол CBD опирается на дугу CD, следовательно, угол CBD = 60° / 2 = 30°.
  9. Угол BCA = 40°. Он опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 2 * 40° = 80°.
  10. Угол ADB опирается на дугу AB, следовательно, угол ADB = 80° / 2 = 40°.
  11. Угол ABC = угол ABD + угол CBD.
  12. Угол ABD опирается на дугу AD. AD - диаметр, значит дуга AD = 180°.
  13. Угол ABD = 90°. (Угол, опирающийся на диаметр).
  14. Угол ABC = 90° + 30° = 120°.
  15. Альтернативный подход:
  16. Угол ADC = 180° - (угол CAD + угол ACD). Угол ACD = 90° (опирается на диаметр AD).
  17. Угол ADC = 180° - (30° + 90°) = 60°.
  18. Угол ABC опирается на ту же дугу AC, что и угол ADC. Нет, это неверно.
  19. Угол ABC и угол ADC опираются на разные дуги.
  20. Угол ABC опирается на дугу ADC. Угол ADC опирается на дугу ABC.
  21. Дуга CD = 2 * угол CAD = 2 * 30° = 60°.
  22. Дуга AB = 2 * угол ACB = 2 * 40° = 80°.
  23. Дуга BCD = дуга CD + дуга BC.
  24. Дуга ABC = дуга AB + дуга BC.
  25. AD - диаметр, поэтому дуга ABD = 180° и дуга ACD = 180°.
  26. Дуга AB + дуга BD = 180°.
  27. Дуга AC + дуга CD = 180°.
  28. Дуга BC + дуга CD + дуга DA = 360°.
  29. Дуга AC = дуга AB + дуга BC.
  30. Дуга AD = 180°.
  31. Угол ABC опирается на дугу ADC. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  32. Угол ADC опирается на дугу ABC. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC.
  33. Дуга CD = 2 * 30° = 60°.
  34. Дуга AB = 2 * 40° = 80°.
  35. Дуга BC = 180° - Дуга AB = 180° - 80° = 100° (если C лежит на дуге ABD, что маловероятно).
  36. AD - диаметр.
  37. Угол CAD = 30° => дуга CD = 60°.
  38. Угол BCA = 40° => дуга AB = 80°.
  39. Угол ABC опирается на дугу ADC.
  40. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга DC = 180° + 60° = 240° (если C не между A и D).
  41. Но C лежит на окружности.
  42. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  43. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC.
  44. AD = диаметр.
  45. Угол ACD = 90° (опирается на диаметр).
  46. В треугольнике ACD: Угол ADC = 180 - 90 - 30 = 60°.
  47. Угол ABC опирается на дугу ADC. Дуга ADC = 2 * Угол ABC.
  48. Угол ADC опирается на дугу ABC. Дуга ABC = 2 * Угол ADC.
  49. Дуга AB = 80°. Дуга CD = 60°.
  50. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC.
  51. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  52. AD - диаметр, значит дуга ABD = 180°, дуга ACD = 180°.
  53. Дуга AB = 80°, Дуга CD = 60°.
  54. Тогда дуга BC = 180° - Дуга AB = 100° (если C лежит на дуге ABD, но это невозможно).
  55. Дуга BC = 180° - Дуга CD = 120° (если B лежит на дуге ACD, но это невозможно).
  56. Дуга BC = 360° - Дуга AB - Дуга CD - Дуга DA (если A, B, C, D по порядку).
  57. AD = 180° (полукруг).
  58. Дуга AB + Дуга BD = 180°.
  59. Дуга AC + Дуга CD = 180°.
  60. Угол ABC опирается на дугу ADC.
  61. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  62. Угол ABC = 1/2 * Дуга ADC.
  63. Угол ADC опирается на дугу ABC.
  64. Угол ADC = 1/2 * Дуга ABC.
  65. Дуга AB = 80°. Дуга CD = 60°.
  66. Дуга ABC = Дуга AB + Дуга BC = 80° + Дуга BC.
  67. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD = Дуга AC + 60°.
  68. 80° + Дуга BC + Дуга AC + 60° = 360°.
  69. Дуга BC + Дуга AC = 360° - 140° = 220°.
  70. Угол ABC = 1/2 * (Дуга AC + 60°).
  71. Угол ADC = 60°.
  72. 60° = 1/2 * (80° + Дуга BC).
  73. 120° = 80° + Дуга BC.
  74. Дуга BC = 40°.
  75. Тогда Дуга AC = 220° - 40° = 180°. (Это означает, что AC - диаметр, что противоречит тому, что AD - диаметр, если A, C, D не совпадают).
  76. Давайте вернемся к тому, что AD - диаметр.
  77. Угол CAD = 30°, опирается на дугу CD. Дуга CD = 60°.
  78. Угол BCA = 40°, опирается на дугу AB. Дуга AB = 80°.
  79. Угол ABC опирается на дугу ADC.
  80. Дуга ADC = Дуга AD + Дуга DC. Но D лежит на окружности.
  81. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  82. AD - диаметр. Значит, дуга AD = 180°.
  83. Угол ABC опирается на дугу ADC.
  84. Дуга ADC = Дуга AC + Дуга CD.
  85. Угол ACD = 90°.
  86. В треугольнике ACD: Угол ADC = 180 - 90 - 30 = 60°.
  87. Угол ABC = 180 - Угол ADC (так как ABCD - вписанный четырехугольник).
  88. Угол ABC = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 120°

ГДЗ по фото 📸

Похожие