Точки А, В и С лежат на окружности с центром О, ∠ВАС – вписанный угол. Про градусные меры дуг известно, что UAB : UBC: UAC = 3 : 1 : 2. Найдите ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Сумма градусных мер дуг окружности равна 360°. Отношение градусных мер дуг \( \overset{\frown}{AB} \), \( \overset{\frown}{BC} \) и \( \overset{\frown}{AC} \) равно 3:1:2. Обозначим градусную меру дуги \( \overset{\frown}{BC} \) как \( x \). Тогда градусная мера дуги \( \overset{\frown}{AB} \) будет \( 3x \), а градусная мера дуги \( \overset{\frown}{AC} \) будет \( 2x \).

Составим уравнение:

\[ 3x + x + 2x = 360° \]\[ 6x = 360° \]\[ x = \frac{360°}{6} \]\[ x = 60° \]

Теперь найдём градусные меры каждой дуги:

• \( \overset{\frown}{BC} = x = 60° \)
• \( \overset{\frown}{AB} = 3x = 3 \cdot 60° = 180° \)
• \( \overset{\frown}{AC} = 2x = 2 \cdot 60° = 120° \)

Вписанный угол \( \angle ABC \) опирается на дугу \( \overset{\frown}{AC} \). Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается.

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \overset{\frown}{AC} \]\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 120° \]\[ \angle ABC = 60° \]

Ответ: 60°