5. Точка знаходиться на відстані 8 см від прямої. Із цієї точки до прямої проведено похилу, яка утворює з прямою кут 30°. Знайдіть довжину похилої та довжину проекції похилої на пряму.

Відповідь: Довжина похилої 16 см, довжина проекції 8√3 см ≈ 13.86 см

Розв'язання:

• Нехай точка A знаходиться на відстані 8 см від прямої, а точка B - основа перпендикуляра, опущеного з A на пряму. Нехай C - точка на прямій, де закінчується похила AC, яка утворює кут 30° з прямою.
• Трикутник ABC - прямокутний, з кутом ∠ABC = 90° і кутом ∠ACB = 30°. Отже, AB = 8 см (відстань від точки до прямої).
• У прямокутному трикутнику проти кута 30° лежить катет, який дорівнює половині гіпотенузи. Отже, гіпотенуза AC (довжина похилої) дорівнює 2 * AB = 2 * 8 см = 16 см.
• Довжину проекції похилої на пряму (відрізок BC) знайдемо за допомогою тригонометричної функції косинуса: cos(30°) = BC / AC.
• cos(30°) = √3 / 2, отже BC = AC * cos(30°) = 16 * (√3 / 2) = 8√3 см ≈ 13.86 см.

Відповідь: Довжина похилої 16 см, довжина проекції 8√3 см ≈ 13.86 см