Точка М на стороне АВ треугольника АВС выбрана так, что АМ = АС. Известно, что ∠BCA = 113° и ∠ВАС = 36°. Найди угол ВСМ. Ответ дай в градусах.

Ответ: 7°

Решение:

• Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол ABC равен: \[∠ABC = 180° - ∠BCA - ∠BAC = 180° - 113° - 36° = 31°\]
• Рассмотрим треугольник AMC. Так как AM = AC, то треугольник AMC равнобедренный с основанием MC. Следовательно, углы при основании равны: \[∠AMC = ∠ACM = (180° - ∠BAC) / 2 = (180° - 36°) / 2 = 144° / 2 = 72°\]
• Теперь найдем угол MCB. Угол BCA состоит из углов ACM и MCB: \[∠MCB = ∠BCA - ∠ACM = 113° - 72° = 41°\]
• Рассмотрим треугольник MBC. Сумма углов треугольника равна 180°. Следовательно, угол BMC равен: \[∠BMC = 180° - ∠AMC = 180° - 72° = 108°\]
• Теперь найдем угол BCM. Сумма углов в треугольнике MBC равна 180°: \[∠BCM = 180° - ∠MBC - ∠BMC = 180° - 31° - 41° = 7°\]

Ответ: 7°