783 Точка М лежит на стороне ВС параллелограмма АBCD, причём ВМ: МС = 3:1. Выразите векторы АМ и МD через векторы а = AD и b = АВ.

Точка M лежит на стороне BC параллелограмма ABCD, причём BM:MC = 3:1. Требуется выразить векторы \(\vec{AM}\) и \(\vec{MD}\) через векторы \(\vec{a} = \vec{AD}\) и \(\vec{b} = \vec{AB}\).

1. Выразим вектор \(\vec{AM}\).

\(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM}\)

Так как BM:MC = 3:1, то \(BM = \frac{3}{4}BC\). Следовательно, \(\vec{BM} = \frac{3}{4} \vec{BC} = \frac{3}{4} \vec{AD} = \frac{3}{4} \vec{a}\).

Тогда \(\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}\).

2. Выразим вектор \(\vec{MD}\).

\(\vec{MD} = \vec{MC} + \vec{CD}\)

\(\vec{MC} = \frac{1}{4} \vec{BC} = \frac{1}{4} \vec{AD} = \frac{1}{4} \vec{a}\).

\(\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{b}\).

Тогда \(\vec{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b}\).

Ответ: \(\vec{AM} = \vec{b} + \frac{3}{4} \vec{a}\), \(\vec{MD} = \frac{1}{4} \vec{a} - \vec{b}\).