231. Точка К находится на равном расстоянии от сторон угла ВАС, равного 52°. Найдите угол АКВ, если КВ АВ. 232. Дан треугольник АВС, у которого АС = ВС. На его стороне АС взята точка М, равноудаленная от прямых АВ и ВС, ∠ABM = 35°. Найдите угол С.

Ответ: ∠АКВ = 116°; ∠C = 110°

Решение задачи 231:

• Т.к. точка K находится на равном расстоянии от сторон угла BAC, то AK - биссектриса угла BAC. Следовательно, ∠BAK = ∠KAC = 52° / 2 = 26°.
• Т.к. KB ⊥ AB, то ∠ABK = 90°.
• Рассмотрим треугольник ABK. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, ∠AKB = 180° - ∠BAK - ∠ABK = 180° - 26° - 90° = 64°.

Ответ: ∠АКВ = 64°

Решение задачи 232:

• Т.к. точка M равноудалена от прямых AB и BC, то BM - биссектриса угла ABC. Следовательно, ∠ABM = ∠MBC = 35°.
• ∠ABC = ∠ABM + ∠MBC = 35° + 35° = 70°.
• Т.к. AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный с основанием AB. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAC = ∠ABC = 70°.
• Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°. Следовательно, ∠C = 180° - ∠BAC - ∠ABC = 180° - 70° - 70° = 40°.

Ответ: ∠C = 40°