Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла В треугольника АВС к гипотенузе АС. Найдите СН, если АН = 9, BC = 20.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH, проведенная к гипотенузе AC, делит её на отрезки AH и CH. Существует метрическая зависимость между сторонами прямоугольного треугольника и отрезками, на которые высота делит гипотенузу:

\( BC^2 = CH \cdot AC \)

Также, мы знаем, что \( AC = AH + CH \).

Из подобия треугольников ABC и CBH следует:

\( \frac{BC}{AC} = \frac{CH}{BC} \)

Отсюда получаем: \( BC^2 = CH \cdot AC \)

В прямоугольном треугольнике ABC, мы также имеем:

\( BH^2 = AH \cdot CH \)

И \( AB^2 = AH \cdot AC \)

Из \( AB^2 = AH \cdot AC \) следует \( AB^2 = 9 · (9 + CH) \).

Из \( BC^2 = CH · AC \) следует \( 20^2 = CH · (9 + CH) \), то есть \( 400 = 9CH + CH^2 \).

Это квадратное уравнение относительно CH: \( CH^2 + 9CH - 400 = 0 \).

Найдем дискриминант: \( D = 9^2 - 4 · 1 · (-400) = 81 + 1600 = 1681 \).

\( \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \).

Найдем корни: \( CH_1 = \frac{-9 + 41}{2} = \frac{32}{2} = 16 \).

\( CH_2 = \frac{-9 - 41}{2} = \frac{-50}{2} = -25 \).

Так как длина отрезка не может быть отрицательной, то \( CH = 16 \).

Проверим, используя \( AB^2 = AH · AC \). Если \( CH = 16 \), то \( AC = 9 + 16 = 25 \).

\( AB^2 = 9 · 25 = 225 \). \( AB = 15 \).

Проверим теорему Пифагора для треугольника ABC: \( AB^2 + BC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 \).

\( AC^2 = 25^2 = 625 \).

\( AB^2 + BC^2 = AC^2 \).

Также проверим \( BC^2 = CH · AC \): \( 20^2 = 16 · 25 \), \( 400 = 400 \). Верно.

Ответ: CH = 16.