Точка E — середина боковой стороны AB трапеции ABCD, а EC = ED. Докажите, что трапеция ABCD прямоугольная.

Ответ: Доказано, что трапеция ABCD прямоугольная.

1. Дано:
   • ABCD - трапеция
   • E - середина AB
   • EC = ED
2. Доказать: Трапеция ABCD - прямоугольная. То есть углы \(\angle A = \angle B = 90^\circ\).
3. Доказательство:
   • Так как EC = ED, то треугольник ECD - равнобедренный.
   • Следовательно, углы при основании CD равны: \(\angle ECD = \angle EDC\).
   • Так как E - середина AB, то AE = EB.
   • Рассмотрим треугольники \(\Delta\)AEC и \(\Delta\)BED:
   • AE = EB (E - середина AB)
   • EC = ED (по условию)
   • \(\angle AEC = \angle BED\) (как вертикальные углы)
   • Следовательно, \(\Delta\)AEC = \(\Delta\)BED (по первому признаку равенства треугольников - по двум сторонам и углу между ними).
   • Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle ACE = \angle BDE\)
   • Так как ABCD - трапеция, то основания AD и BC параллельны: AD || BC.
   • Значит, \(\angle CDA + \angle BCD = 180^\circ\) (сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых).
   • \(\angle CDA = \angle CDE + \angle EDA\) и \(\angle BCD = \angle BCE + \angle ECD\).
   • Учитывая, что \(\angle ECD = \angle EDC\) и \(\angle ACE = \angle BDE\), получаем: \(\angle ACE + \angle BDE + \angle ECD + \angle EDC = 180^\circ\).
   • Тогда \(\angle ACE + \angle ECD = 90^\circ\) и \(\angle BDE + \angle EDC = 90^\circ\). \(\angle ACD = 90^\circ\) и \(\angle BDC = 90^\circ\).
   • Рассмотрим углы \(\angle A\) и \(\angle B\). Так как \(\angle ACE = \angle BDE\) и \(\angle ECD = \angle EDC\), то \(\angle A = \angle B = 90^\circ\).
   • Следовательно, трапеция ABCD - прямоугольная.

Ответ: Доказано, что трапеция ABCD прямоугольная.