Точка D на стороне AB треугольника ABC выбрана так, что AD = AC. Известно, что ∠ACB = 86° и ∠CAB = 32°. Найдите ∠DCB. Ответ дайте в градусах.

Решение:

В треугольнике ABC:

1. Найдем угол ∠ABC: Сумма углов треугольника равна 180°. Значит, \( \angle ABC = 180° - \angle CAB - \angle ACB \).
2. Подставим известные значения: \( \angle ABC = 180° - 32° - 86° = 62° \).
3. Рассмотрим треугольник ADC: По условию AD = AC. Это означает, что треугольник ADC равнобедренный.
4. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Следовательно, \( \angle ADC = \angle ACD \).
5. Найдем угол ∠ADC: Угол ∠ADC является внешним углом треугольника BDC. Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним.
6. Следовательно, \( \angle ADC = \angle ABC + \angle DCB \).
7. Так как \( \angle ADC = \angle ACD \), то \( \angle ACD = \angle ABC + \angle DCB \).
8. Найдем угол ∠DCB: Мы знаем, что \( \angle ACB = 86° \). Также \( \angle ACB = \angle ACD + \angle DCB \).
9. Подставим значение \( \angle ACD \) из пункта 6: \( 86° = (\angle ABC + \angle DCB) + \angle DCB \).
10. Подставим значение \( \angle ABC \) из пункта 2: \( 86° = (62° + \angle DCB) + \angle DCB \).
11. Упростим уравнение: \( 86° = 62° + 2 \times \angle DCB \).
12. Перенесем 62° в левую часть: \( 86° - 62° = 2 \times \angle DCB \).
13. \( 24° = 2 \times \angle DCB \).
14. Найдем \( \angle DCB \): \( \angle DCB = \frac{24°}{2} = 12° \).

Ответ: 12