Точка D делит основание AB равнобедренного треугольника ABC в отношении 2 : 1, считая от вершины A. Радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 12. Найди радиус окружности, описанной около треугольника BDC.

Пусть AD = 2x, тогда DB = x. Так как ABC — равнобедренный треугольник с основанием AB, вершина C лежит над серединой AB. Поэтому расстояния от C до A и B равны: AC = BC.

Треугольники ADC и BDC имеют общую сторону CD. Кроме того, AC = BC, а отношение оснований AD:DB равно 2:1.

По формуле радиуса описанной окружности через стороны и площадь: R = abc/(4S). Для обоих треугольников произведение длин сторон равно AC · BC · CD, то есть одинаково. Их площади относятся как основания AD:DB = 2:1, поскольку высота из C к прямой AB у них общая. Следовательно, радиусы описанных окружностей обратно пропорциональны площадям:

R_BDC = R_ADC · S_ADC/S_BDC = 12 · 2 = 24.

Ответ: 24.