2. Точечный заряд q = 10⁻⁹ Кл окружён сферической оболочкой из диэлектрика с относительной диэлектрической проницаемостью ε = 2. Внешний и внутренний радиусы оболочки равны соответственно R₁ = 5 см, а R₂ = 6 см. Определите напряжённость E(r) электрического поля в зависимости от расстояния от заряда и начертите график этой зависимости.

Ответ: E(r) зависит от расстояния r и принимает разные значения в зависимости от области пространства: E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * r²) при r < R₁, E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * ε * r²) при R₁ < r < R₂, E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * r²) при r > R₂. График зависимости E(r) представляет собой гиперболу с разрывом на границах диэлектрика.

Решение:

• Шаг 1: Определение напряженности поля внутри оболочки (r < R₁)

  Внутри оболочки электрическое поле создается только точечным зарядом q. По закону Гаусса:

  \[ E(r) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \]

  где:

  • q = 10⁻⁹ Кл
  • ε₀ – электрическая постоянная (8.854 × 10⁻¹² Ф/м)
  • r – расстояние от заряда
• Шаг 2: Определение напряженности поля в диэлектрике (R₁ < r < R₂)

  Внутри диэлектрика электрическое поле ослабляется в ε раз:

  \[ E(r) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon r^2} \]

  где ε = 2 (относительная диэлектрическая проницаемость).

• Шаг 3: Определение напряженности поля вне оболочки (r > R₂)

  Вне оболочки поле снова определяется только точечным зарядом q:

  \[ E(r) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \]
• Шаг 4: График зависимости E(r)

График представляет собой гиперболу, которая имеет разрыв на границах диэлектрика (R₁ и R₂). Внутри диэлектрика напряженность поля уменьшается в ε раз.

Для построения графика можно воспользоваться следующими значениями:

• При r < R₁: E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * r²)
• При R₁ < r < R₂: E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * ε * r²)
• При r > R₂: E(r) = q / (4 * pi * ε₀ * r²)

Важно: График будет иметь разрывы на границах R₁ и R₂, где происходит изменение диэлектрической проницаемости.