Тип 13 № 677067 a) Решите уравнение 2 cos2x + 3 sin 2x = 4 + 3 cos 2x.

Решение:

1. Перепишем уравнение, используя формулу косинуса двойного угла \( \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 \):
   
   \( 2\cos^2 x + 3\sin 2x = 4 + 3(2\cos^2 x - 1) \)
2. Раскроем скобки и приведем подобные члены:
   
   \( 2\cos^2 x + 3\sin 2x = 4 + 6\cos^2 x - 3 \)
   
   \( 2\cos^2 x + 3\sin 2x = 1 + 6\cos^2 x \)
   
   \( 3\sin 2x = 1 + 4\cos^2 x \)
3. Используем формулу \( \sin 2x = 2\sin x \cos x \) и \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \):
   
   \( 3(2\sin x \cos x) = 1 + 4(1 - \sin^2 x) \)
   
   \( 6\sin x \cos x = 1 + 4 - 4\sin^2 x \)
   
   \( 6\sin x \cos x = 5 - 4\sin^2 x \)
4. Перенесем все члены в одну сторону:
   
   \( 4\sin^2 x + 6\sin x \cos x - 5 = 0 \)
5. Разделим обе части на \( \cos^2 x \) (при условии, что \( \cos x \neq 0 \)):
   
   \( 4\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 6\frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{5}{\cos^2 x} = 0 \)
   
   \( 4\tan^2 x + 6\tan x - 5(1 + \tan^2 x) = 0 \)
6. Упростим полученное квадратное уравнение относительно \( \tan x \):
   
   \( 4\tan^2 x + 6\tan x - 5 - 5\tan^2 x = 0 \)
   
   \( -\tan^2 x + 6\tan x - 5 = 0 \)
   
   \( \tan^2 x - 6\tan x + 5 = 0 \)
7. Пусть \( t = \tan x \). Тогда \( t^2 - 6t + 5 = 0 \). Решим это квадратное уравнение:
   
   \( (t-1)(t-5) = 0 \)
   
   Значит, \( t = 1 \) или \( t = 5 \).
8. Подставим обратно \( \tan x \):
   
   \( \tan x = 1 \) или \( \tan x = 5 \).
9. Решим каждое из этих уравнений:
   
   Если \( \tan x = 1 \), то \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).
   
   Если \( \tan x = 5 \), то \( x = \arctan(5) + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).
10. Проверим условие \( \cos x \neq 0 \). Если \( \tan x = 1 \) или \( \tan x = 5 \), то \( \cos x \neq 0 \).

Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \pi k \) или \( x = \arctan(5) + \pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).