6 Тип 7 і 4 Упростите выражение 62 a²+aba²-102 и найдите его значение при = √5-1. b = √5-1.

Для упрощения выражения $$\frac{b}{a^2 + ab} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$$, сначала приведем дроби к общему знаменателю.

Общий знаменатель: $$(a^2 + ab)(a^2 - b^2) = a(a+b)(a-b)(a+b) = a(a+b)^2(a-b)$$

Преобразуем числители:

Первая дробь: $$\frac{b}{a(a+b)} = \frac{b(a-b)(a+b)}{a(a+b)(a-b)(a+b)} = \frac{b(a^2 - b^2)}{a(a+b)^2(a-b)}$$

Вторая дробь: $$\frac{b^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{b^2 (a(a+b))}{a(a+b)(a-b)(a+b)} = \frac{b^2a(a+b)}{a(a+b)^2(a-b)}$$

Суммируем дроби:

$$\frac{b(a^2-b^2) + b^2a(a+b)}{a(a+b)^2(a-b)} = \frac{ba^2 - b^3 + b^2a^2 + b^3a}{a(a+b)^2(a-b)} = \frac{ba^2 + b^2a^2 + b^3a - b^3}{a(a+b)^2(a-b)}$$

Вынесем ba за скобку в числителе:

$$\frac{ba(a+ab+b^2-b^2)}{a(a+b)^2(a-b)} = \frac{ba(a+ab)}{a(a+b)^2(a-b)}$$

Произведем сокращение:

$$\frac{b(a+ab)}{(a+b)^2(a-b)} = \frac{b(a+ab)}{(a^2-b^2)(a+b)} = \frac{b}{a^2-b^2}$$

Подставим значения $$a = \sqrt{5} - 1$$ и $$b = \sqrt{5} - 1$$:

Так как a = b, то $$a^2 - b^2 = 0$$, и выражение не определено.

Однако, если допустить, что была опечатка и выражение имело вид $$\frac{b}{a^2 - ab} + \frac{b^2}{a^2 - b^2}$$, то

при $$a = \sqrt{5} - 1$$ и $$b = \sqrt{5} - 1$$:

$$\frac{b}{a^2 + ab} + \frac{b^2}{a^2 - b^2} = \frac{(\sqrt{5}-1)}{(\sqrt{5}-1)^2 + (\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}-1)} + \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{(\sqrt{5}-1)^2 - (\sqrt{5}-1)^2}$$

Тогда a = b и выражение примет вид $$\frac{b}{a(a+b)}$$

$$\frac{1}{a+b} = \frac{1}{(\sqrt{5}-1)+(\sqrt{5}-1)}$$

$$\frac{1}{2\sqrt{5} - 2}$$

$$\frac{1}{2(\sqrt{5} - 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{2(5 - 1)} = \frac{\sqrt{5} + 1}{8}$$

Ответ: $$\frac{\sqrt{5} + 1}{8}$$