Контрольные задания > 7 Тип 18 і К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересе- кающая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку D проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые DE и ВС параллельны, ∠EDC = 30° и КВ = 14/3.
Вопрос:

7 Тип 18 і К окружности с диаметром АВ в точке А проведена касательная. Через точку В проведена прямая, пересе- кающая окружность в точке С и касательную в точке К. Через точку D проведена хорда CD параллельно АВ так, что получилась трапеция ACDB. Через точку D проведена касательная, пересекающая прямую АК в точке Е. Найдите радиус окружности, если прямые DE и ВС параллельны, ∠EDC = 30° и КВ = 14/3.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение: Для нахождения радиуса окружности используем свойства касательных и параллельных прямых, а также тригонометрические соотношения.

Решение:

  1. Обозначим радиус окружности за R. Тогда диаметр AB = 2R.
  2. Так как DE || BC, то ∠BCE = ∠DEC как соответственные углы. ∠EDC = 30° (дано).
  3. ∠BAC = 90°, так как AK – касательная к окружности в точке A. Аналогично, ∠CDE = 90°, так как DE – касательная в точке D.
  4. Рассмотрим трапецию ACDB. Т.к. CD || AB, то ∠CAB + ∠ACD = 180°. Следовательно, ∠ACD = 90°. Значит, треугольник ABC – прямоугольный.
  5. Поскольку ∠EDC = 30°, а DE || BC, то ∠BCA = ∠EDC = 30°. В прямоугольном треугольнике ABC угол ∠BCA = 30°.
  6. В прямоугольном треугольнике ABC: AB = 2R. Тогда BC = AB \\cdot cos(30°) = 2R \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = R\\sqrt{3}.
  7. Треугольник AKB также прямоугольный (∠BAK = 90°). KB = 14\\sqrt{3} (дано).
  8. Рассмотрим треугольник KBC. ∠BCK = 90° - 30° = 60°. Следовательно, ∠BKC = 30° (т.к. сумма углов треугольника равна 180°).
  9. В прямоугольном треугольнике AKB, tg(∠BKA) = \\frac{AB}{AK}, откуда AK = \\frac{AB}{tg(∠BKA)}. ∠BKA = ∠BKC = 30°, следовательно, AK = \\frac{2R}{tg(30°)} = \\frac{2R}{\\frac{1}{\\sqrt{3}}} = 2R\\sqrt{3}.
  10. Теперь CK = KB \\cdot cos(30°) = 14\\sqrt{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = 21. Также CK = AK - AC. Так как AC = AB \\cdot sin(30°) = 2R \\cdot \\frac{1}{2} = R, то 21 = 2R\\sqrt{3} - R. Отсюда R(2\\sqrt{3} - 1) = 21.
  11. Выразим радиус R: R = \\frac{21}{2\\sqrt{3} - 1} = \\frac{21(2\\sqrt{3} + 1)}{(2\\sqrt{3} - 1)(2\\sqrt{3} + 1)} = \\frac{21(2\\sqrt{3} + 1)}{12 - 1} = \\frac{21(2\\sqrt{3} + 1)}{11} = \\frac{42\\sqrt{3} + 21}{11}.
  12. В условии указано KB = 14/3, а не 14√3. С учетом этого, пересчитаем: В прямоугольном треугольнике AKB, tg(∠BKA) = \\frac{AB}{AK}, откуда AK = \\frac{AB}{tg(∠BKA)}. ∠BKA = ∠BKC = 30°, следовательно, AK = \\frac{2R}{tg(30°)} = \\frac{2R}{\\frac{1}{\\sqrt{3}}} = 2R\\sqrt{3}.
  13. Теперь CK = KB \\cdot cos(30°) = \\frac{14}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} = \\frac{7\\sqrt{3}}{3}. Также CK = AK - AC. Так как AC = AB \\cdot sin(30°) = 2R \\cdot \\frac{1}{2} = R, то \\frac{7\\sqrt{3}}{3} = 2R\\sqrt{3} - R. Отсюда R(2\\sqrt{3} - 1) = \\frac{7\\sqrt{3}}{3}.
  14. Выразим радиус R: R = \\frac{\\frac{7\\sqrt{3}}{3}}{2\\sqrt{3} - 1} = \\frac{7\\sqrt{3}}{3(2\\sqrt{3} - 1)} = \\frac{7\\sqrt{3}(2\\sqrt{3} + 1)}{3(2\\sqrt{3} - 1)(2\\sqrt{3} + 1)} = \\frac{7\\sqrt{3}(2\\sqrt{3} + 1)}{3(12 - 1)} = \\frac{7(6 + \\sqrt{3})}{33} = \\frac{42 + 7\\sqrt{3}}{33}.

Ответ: \(\frac{42 + 7\\sqrt{3}}{33}\)

ГДЗ по фото 📸