Тип 15 № 339544 В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что АС = 216, HC = 54 и ∠ACB = 40°. Найдите угол АМВ. Ответ дайте в градусах.

1. Найдем AH:

$$AH = AC - HC = 216 - 54 = 162$$

2. Рассмотрим треугольник ABH. Пусть ∠ABH = x, тогда ∠BAH = 90° - x.

3. Рассмотрим треугольник BHC. ∠HBC = 90° - ∠HCB = 90° - 40° = 50°

4. Значит, ∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = x + 50°

5. В треугольнике ABC: ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - (x + 50°) - 40° = 90° - x

Т.к. M - середина AC, то AM = MC = AC/2 = 216/2 = 108.

6. Рассмотрим треугольник BHC: BH = BC * sin(40)

7. ∠BAC = ∠BAH = 90° - x

Медиана BM делит сторону AC пополам, значит AM = MC.

Треугольник BMC - равнобедренный (BM=MC)

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠MBC = ∠MCB = 40°

Найдем угол ∠BMA, зная, что ∠BMC и ∠BMA - смежные, а сумма смежных углов равна 180°

Сумма углов треугольника BMC равна 180°, значит ∠BMC=180°-40°-40°=100°

Тогда ∠BMA = 180° - ∠BMC = 180° - 100° = 80°.

Ответ: 80